函数图形凹向与拐点

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1、安徽工贸职业技术学院精品课程应用数学基础电子教案§5.5函数图形的凹向与拐点教学目的与要求1.掌握函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法；2.能利用导数描绘函数图形.教学重点与难点凹凸性与拐点，用凹凸性证明不等式（一）、复习1.函数极值的概念和必要条件，极值存在的第一、第二充分条件；2.函数的最大值和最小值方法.作函数的图形时，仅知道函数的单调性和极值还不能全面反映函数图形的特征．同是在区间上单调增加的函数，其图形的弯曲方向也可能不同；如图3—6中与同是上升曲线，但弯曲方向不同，前者是凸的，后者是凹的．本节将用导数研究曲线的凸凹及拐点，从而比较准确地作出函数的图形（二）、新课一、函数的凸

2、凹及其片判别法如图3—6可以看出，曲线是向上弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线的上方；曲线是向下弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线下方，从而我们有如下定义．定义１如果在某区间内，曲线上每一点处的切线都位于曲线的上方，则称曲线在此区间内是凸的；如果在某区间内，曲线上每一点处的切线都位于曲线的下方，则称曲线在此区间内是凹的．从图3—6还可以进一步看出，当曲线凸时，其切线斜率是单调减少的，因而；当曲线凹时，其切线斜率是单调增加的，因而，这说明曲线的凸凹性可由函数的二阶导数的符号确定．定理１设在上连续，在内具有二阶导数，则：（１）若在内，,则曲线在上是凹的．第5页共5页安徽工贸职业技术学院精品课

3、程应用数学基础电子教案（１）若在内，,则曲线在上是凸的．二、拐点及其求法定义２曲线上，凸与凹的分界点称为该曲线的拐点．由拐点的定义和定理１知，使的点及不存在的点可能是拐点．这些点是不是拐点要用下面的定理来判定．定理２设在内有二阶导数，则（１）若在与内异号，则点为曲线的拐点．（２）若在与内同号，则点不是曲线的拐点．例１求函数的凸凹区间及拐点．解，　．令得；而为不存在的点．用将定义区间分成三个部分区间（见下表）．由表可知，曲线的凸区间是，凹区间是,　；点是拐点．0—不存在凸拐点凹不是拐点凹例２讨论函数的凸凹性及拐点．解函数的定义域为，对函数求导得第5页共5页安徽工贸职业技术学院精品课程应用数

4、学基础电子教案，；由得，，．用这两点把定义域分成三个部分区间(见下表)．由下表可知，曲线的凸区间是，凹区间是和，点和点是拐点．—凹拐点凸拐点凹三、曲线的渐近线有些函数的定义域与值域都是有限区间，此时函数的图形局限于一定的范围之内，如圆，椭圆等．而有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无穷远处延伸，如双曲线，抛物线等．有些向无穷远延伸的曲线，呈现出越来越接近某一直线的形态，这种直线就是曲线的渐近线．定义3若曲线上一点沿曲线无限远离原点时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．（一）水平渐近线若函数的定义域是无限区间，且有（或，），则直线称为曲线的水平渐近线．例３

5、　对于曲线，由于，，所以直线与是曲线的水平渐近线．（二）垂直渐近线若是函数的间断点，且（或，），则直线称为曲线的垂直渐近线．第5页共5页安徽工贸职业技术学院精品课程应用数学基础电子教案例４求的垂直渐近线．解因为，所以，是曲线的一条垂直渐近线．（三）斜渐近线若曲线的定义域为无限区间，且有，，则直线称为曲线的斜渐近线．例５求曲线的渐近线．解因为，所以直线是曲线的垂直渐近线，又，；所以为曲线的斜渐近线．四、函数作图的一般步骤前面几节讨论的函数的各种性态，可应用于函数的作图．描绘函数的图形可按下面的步骤．第一步确定函数的定义域及函数的某些特性（如奇偶性，周期性等）．第二步求出方程和在函数定义域内

6、的全部实根和，不存在的点；用这些点把定义域划分成部分区间．第三步确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数的升降、凸凹、极值点和拐点．第四步确定函数图形的水平、铅直和斜渐近线以及其它变化趋势．第五步为了把图形描得准确，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步中得到的结果，连结这些点作出函数的图形．例６描绘函数的图形．第5页共5页安徽工贸职业技术学院精品课程应用数学基础电子教案解（1）函数的定义域为，且，故图形在上半平面内．（2）是偶函数，图形关于轴对称．（3）曲线与轴的交点为．（4）因，故是一条水平渐近线．（5），令得驻点．（6），令得．列表如下：—————极大值凸拐点凹由上面分析画出

7、草图．（三）、小结1.函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法；2.曲线的渐近线；3.函数图形的作法.（四）、作业作业:p13915，16，17预习：§6.1p141—145,第5页共5页