高数上34凹向、拐点、作

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1、如果我们接受某条信息时，和我们头脑中已有的信息有密切的联系，就好像往仓库中放东西时作了许多的标记，寻找时就比较容易。可见，有效地提取信息，是记忆的核心。而有效提取的关键，是接收信息时“做好标记”。1.凹凸性的定义（中点的函数值小于函数值的中值）（中点的函数值大于函数值的中值）§3.4曲线的凹向与拐点·函数作图一曲线的凹向与拐点就是说：若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的上方，则称曲线在这区间是凹的；直观观察在有些教材中，凹的（曲线）又叫“上凹”，凸的又叫“下凹”。下方。凸的。连续曲线上，不

2、同凹向曲线段的分界点，称为曲线的拐点。注意：拐点是曲线上的点，应由两个坐标表示：（x0,f(x0)）.前面讲过的极值点，是取得极值时自变量的值，记为x=xi。两者不同。P106定理3.8函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间内二阶可导，则当f”(x)>0时，曲线上凹（凹）；f”(x)<0时，曲线下凹（凸）。2、曲线凹向的判定仍可用“雨水法则”帮助记忆证明从略，但应注意：（1）定理条件中的“在开区间内二阶可导”，对有限个点，可以允许二阶导数为零或不存在。但一阶导数必须存在。（2）定理中的区

3、间，可以是任何形式的区间。补例1.补例2.解解3、判定函数凹向的步骤（1）确定函数y=f(x)的定义域；（2）求f”(x),找出使f”(x)=0和f”(x)不存在的点xi；（3）用xi把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线的凹向。4、拐点的判定必要条件：若函数f(x)在点x0二阶可导，且点(x0,f(x0))是曲线的拐点，则f’’(x0)=0充分条件：补例3.曲线是凸的。曲线是凹的。解补例4.在区间（－∞，0]内曲线是凹的。在区间[0，]上曲线是凸的。解在区间[，＋∞）内曲线是凹的。··0补

4、例5.显然，是方程的根。但当时，总有因此，（0，0）不是这曲线的拐点。补例6求曲线的拐点。解当时，当时，都不存在。解另外，函数没有其他二阶导数为零或二阶导数不存在的点。所以，在不连续且不具有零点。但把分成两个部分区间：曲线在上是凹的。曲线在上是凸的。则点是曲线的拐点。（由上页）本例说明：二阶导数不存在的点也有可能是拐点5、曲线的渐近线(补课本§1.6)(1)、水平渐近线(2)、垂直渐近线CxyOx0xyO(3)、斜渐近线（补充——不作要求）显然，一般先确定a二函数作图利用导数工具描绘函数的图形，称为

5、分析法作图。1、分析法作图的步骤：（1）确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性；（2）求函数的一阶、二阶导数，找出f’(x)=0和f’(x)不存在的点xi找出f”(x)=0和f”(x)不存在的点xk（3）用xi,xk和函数的间断点把函数的定义域划分成若干个小区间；（4）确定函数的单调性、极值点、凹向和拐点。列成表格；（5）讨论函数的渐近线。添加必要的辅助点；（6）完成作图。+0－的图形－－0+－－－+++0极大拐点极小以下表示不正确（4）第四行曲线y=f(x)，用适当凹向的曲线箭头，表明函数在相

6、应区间的大体形态；注意，箭头方向是：箭尾在左，箭头在右；2、关于函数形态表的说明（如下表）（1）第一行x，由左至右按照从小到大列出小区间和它们的分界点；（3）第三行y”，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相应的导数值；（2）第二行y’，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相应的导数值；解补例1.3、应用举例：+0－的图形－－0+－－－+++0极大拐点极小得到函数图形上三个点辅助点所以该曲线既无水平渐近线，也无铅直渐近线。补例2.解的图形0(0,1)1(1,+∞）0－－－－－0+极大拐点得到曲线上的

7、两个点加辅助点注：本例特点（1）利用函数的奇偶性；（2）补充点（0，y(0)），（2，y(2)）；（3）有水平渐近线。补例3解－－－－－－－－++00极大拐点的图形-3不存在不存在不存在得曲线上的点辅助点