导数的应用-函数凹向与拐点

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1、第六节函数图形的描绘图形描绘的步骤作图举例渐近线1.铅直渐近线铅直渐近线.或利用导数，就可以判断曲线的升降，凹凸，如铅直渐近线:(垂直于x轴的渐近线)以及极值点，拐点，就可以大致作出曲线的形状.为了使作图更精确，回忆曲线的渐近线.一、渐近线如铅直渐近线:2.水平渐近线如水平渐近线:水平渐近线.或(b为常数)(平行于x轴的渐近线)=)(limxf3.斜渐近线斜渐近线.明显有从而将a带入即可求出b.)1()0,,(¹aba且为常数例解定义域无水平渐近线利用函数特性描绘函数图形.确定函数的定义域、值域、间断点,函数是否有奇

2、偶性、周期性.判定和拐点,讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性渐近线.适当计算曲线上一些点的坐标,是否与坐标轴是否有交点.特别注意123二、图形描绘的步骤例解无奇偶性及周期性.三、作图举例拐点极大值极小值列表拐点极大值极小值例解偶函数,图形关于y轴对称.极大值拐点作业作业册本节全部第三节泰勒(Taylor)公式1516不足:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计。17分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交18N阶接触19拉格朗日型余项20证明:212223说明:24麦克劳林(Macl

3、aurin)公式此时泰勒公式称为麦克劳林公式.拉格朗日型余项皮亚诺型余项25解近似公式误差其误差26解272829303132常用函数的麦克劳林公式33解34解35解利用泰勒展开式求极限36例6解练习：37P143习题3-31.3.5.7.10.第四节函数的单调性与曲线的凹凸性38一、函数单调性的判定法函数的单调性与导数符号的关系39观察与思考：函数单调增加函数单调减少函数的单调性与导数的符号有什么关系？40函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。函数的单调性与导数符号的关系观察结果：函数单调减少函数单

4、调增加41定理42证应用拉格朗日定理,得43例1解例2解44例3解45例4解46例4解也可用列表的方式，47导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,y-2O2-4-224xy=x3驻点48例5证利用函数的单调性证明不等式49即原式成立。例6证50由连续函数的零点存在定理知，利用函数的单调性讨论方程的根。例7证小结51单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程

5、实根的个数和证明不等式.二、曲线的凹凸与拐点52问题:如何研究曲线的弯曲方向?NABM53观察与思考：函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？54定义一如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的。曲线凹向的定义凹的凸的55曲线凹向的定义凹的凸的56图形上任意弧段位于所张弦的上方：凸的图形上任意弧段位于所张弦的下方：凹的57定义二58观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点凹的凸的当曲

6、线是凹的时，f(x)单调增加。当曲线是凸的时，f(x)单调减少。曲线凹向的判定曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。59定理60例8解xyO61例9解凹凸凹拐点拐点6263例10解拐点的求法：1.找出二阶导数为零的点或不可导点；2.若它两边的二阶导数值异号,则为拐点,若同号则不是拐点.64例11解65利用函数图形的凹凸性,证明不等式例12证66-2-112-2-112Oxy解：f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。当x(-,-1)时，f(x)>0，函数f(x)在(-,-1)内单调增加；当x(-

7、1,1)时，f(x)<0，函数f(x)在(-1,1)内单调减少；当x(1,+)时，f(x)>0，函数f(x)在(1,+)内单调增加。例解例解