数值计算复习小结

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1、第一章科学计算适定问题的三个特征是：存在性，唯一性，病态性科学计算中误差的来源：建模，经验测量，前面的计算，截断或离散化，舍入。第二章线性方程组解的存在性和唯一性：唯一解：A非奇异，b任意无数解：A奇异，b与A相容没有解：A奇异，b与A不相容问题的敏感性和病态性：1.矩阵的条件数可以作为界定右端向量的相对变动引起解的最大相对变动的放大因子，即可以作为敏感性的测量。2.矩阵的条件数受矩阵重新排列和元素大小调整的影响。3.当且仅当A是良态矩阵是，较小的相对残差所对应解的相对误差才能很小。4.不管条件数如何，稳定的算法产生的相对残差总是非常小求解线性方程组：三角线性方程组：

2、前代和回代复杂性为o（n*n）高斯消去(lu分解)：优点：A的对角线以下的元素存储L，以上存，储U，节省空间。计算量不是太大，n^3/3缺点：会出现非常小的量，消去过程中计算某一列时需要除以这一列的主元，如果某一步矩阵未被约化部分的主元为0的话，消去过程将失败。求逆方法：（缺点）1.计算量大约是高斯消去的3倍。计算A的逆相当于求解n个线性方程组：总的操作次数大约为n^3次乘法和同样数量的加法。2.降低解的精度。选主元(优点)：1.解决了高斯消去出现的由于主元为0导致的消去失败的问题。2.减少了数据误差的传播，避免在用初等消去法乘矩阵的其余部分以及右端向量时将前面的误差

3、放大。3.通常可以产生精度最高的解。高斯若当消去法：优点：消去一旦完成，矩阵将变成对角形，方程组的解可以分别由变幻后的右端向量的每个分量除以对角阵的相应元素得到。工作量比求解三角方程组要少得多。缺点：1.消去过程的成本并不低2.计算量比标准的高斯消去法的计算量要多50﹪大约要n^3/2次乘法和同样数量的加法。特殊类型的线性方程组对称正定方程组（出列斯基分解）：优点：1.所需计算的n个平方根都是正数，这使得算法是良态的2.不需要选主元就能保证数值稳定。3.仅仅用到A的下3角部分，因而上三角部分不必存储。4.仅仅需要做n^3/6次乘法和同样数量的加法5.存储量和工作量仅为

4、高斯法的一半。缺点：为了利用存储上的优势，通常需要将对称矩阵的三角部分按一维数组存储，这样不如将矩阵按二维数组存储方便。带状方程组：（三对角方程组）1.通常系数矩阵是对角占优或正定的，因而不用选主元就可以达到数值稳定。2.存储量为o(βn),分解工作量为o(βn^2),这两项与一般的方程组相比都可以有较多的节省。第一章线性最小二乘解的存在性和唯一性：最小二乘总是有解。最小二乘的解唯一的冲要条件是：A列满秩。问题的敏感性和病态性：a．最小二乘问题的解x关于b的扰动问题的条件数不仅与cond(A)有关，还与b和Ax的夹角有关。残差向量较小时，条件数近似为cond(A)残差

5、向量较大时，条件数可以任意大于cond(A)b.最小二乘问题的解x关于Ax的扰动问题的条件数不仅与cond(A)有还与b和Ax的夹角有关。残差较小，以至tanθ≈0时，条件数近似等于cond（A）；残差大小适当时，条件数为cond（A）的平方；残差较大时，条件数可以任意大。求解最小二乘问题：正规方程组：1.形成A的叉积矩阵和右端向量时会产生信息丢失。2.叉积矩阵的条件数是原矩阵的平方。3.即使在拟合良好，并且残差也较小的情况下，正规方程组也会出现条件数平方效应，这使得计算解的敏感性比原来的最小二乘问题更强，因此正规方程组解法时不稳定的。增广方程组：（缺点）增广方程组对

6、称但不正定，而且比原来的方程组要大，求解时需要存储A的两个拷贝，而且如果我么烟对角线选主元，会再次产生正规方程组，而正规方程组的数值稳定性很差。可以用其他的选主元的策略，以保证数值稳定。正交变换：正交变换household:优点：1.不仅可以求解最小二乘问题，而且还可以求解系数矩阵相同，右端向量不同的问题。2.同时在一个列中引入多个0，效率高。缺点：1.如果要给出Q就要将单位阵依次乘以每个household变换，这些计算要用到额外的存储。2.如果有所选择地引入0的话，这个方法就不有效了。Givens优点:1.可以有所选择地每次引入一个0元素。2.复杂程度上，比hous

7、ehold更简单些。缺点：1.工作量比household多50﹪2.需要的存储量较多Gram-Schmidt:缺点：1.舍入误差可能会导致数据丢失，2.古典的方法需要单独存储A和Q以及R。3.改进的算法里Q和R仍需要分别存储，不如household。4.提供了Q的直接表示，需要的话，需要额外的存储。优点：1.改进的算法数值稳定性十分优越。2.提供了Q的直接表示，需要的时候，不用再额外计算。第五章非线性方程问题的敏感性和病态性：一维空间，x为重根时，条件数为无穷大，微小的扰动可能使一个重根变成多个根，或者根本不是根。N维空间，当雅克比矩阵奇异时，条件数