探究：学生从知识课堂走向智慧课堂——“二项式系数的性质与应用”课例及其评价

《探究：学生从知识课堂走向智慧课堂——“二项式系数的性质与应用”课例及其评价》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、探宄：学生从知识课堂走向智慧课堂‘二项式系数的性质与应用”课例及其评价江苏省邳州市教育局教研室张健文EVI指出:学生的数学学习活动不应只限于接受，记忆，模仿和练习，高屮数学课程还应侣导向主探索，动手实践，合作交流，阅读自学等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的”再创造”过程.高中数学课程应力求通过各种不同形式的A主学习，探宂活动,让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.“二项式系数的性质与应用”是高中数学新课程《数学选修2-3》”计数原理”中的一节内容.这节内容的难度大，探宂性强，所渗透的

2、数学思想方法较多，如何在教师的引导下,让学生通过自主探宄，合作交流的学习方式”体验数学发现和创造的历程”?我们对这节课做了富有成效的尝试.1课堂教学简录教师:二项式系数之间有什么关系？（学生沉思，没有回答）教师:研究数的变化规律，一般采用什么方法？学生2:从特殊到一般的方法.教师:”从特殊到一般”的基本思路是——学生3:观察特例一找出规律一归纳猜想一给出证明.学生4:取，z—1,2,3我发现:前后两个二项式系数都是1;与两端间距相等的两个二项式系数相等；当1”1为偶数时，中间一个二项式系数最大;当为奇数时，中间两个二项式系数最大.教师:真不错!一下就

3、说出来三条性质.为了便于观察，我们可以对取不同值，得到二项式系数表（多媒体投影图1）:C?C（口+6）1〜c:奠ctc:.:a+ba+b”2c.c:c3C:+:::?:33c:CC:C:C:C:（D+6）1510105教师:二项式右侧的表是由左侧表计算得来的.二项式系数表构成了三角形图案，右侧这个三角形图案最早是由我国古代数学家杨辉发现的，所以又称“杨辉三角”，它比西方的”帕斯卡三角”早300多年.教师:能用式子表示这些性质吗？学生5:C:===C~1;C:=1一C:一;当为偶数时，以c最大;当为奇数时，以c和c（两者相等）最大.（有其他学生补充）教

4、师:还有其他发现吗？学生6:”杨辉三角”从第三行开始，每行的数都是先增后减.教师:怎么用数学符号表示？学生7:设c⁢cr,于是万<研研，可推出r<.即当r<时，c:<c;同理当r>时，Cr>C;+l.教师:还有其他性质吗？（学生沉默）教师:同行的数”亲如兄弟”，异行的数是否也”藕断丝连”呀！学生8:任意一个数（除1以外）都等于它”两肩”上的两个数之和.教师:你能发现它很不简吊!请看阁2.这个性质怎么表示？图2图3学生9:任意写出一项C:,根据其规律即可写出其他两项（阁3），于是有C叫+C:—Cr+,或C:+C

5、r+-C:{j.教师:太精彩了!由于是任意的，实际这两个等式是统一的.教师:这个性质非常重要!它可以使”杨辉三角”连续不断地写下去.你能说出（口+6）各项的二项式激系数吗?学生10:1,7,21,35,35,21,7,1.教师:还有其他发现吗7（学生沉思）教师:刚才我们探索了”杨辉三角”“局部”之间数的关系，若从’’整体上看呢?比如，把每一行的所有数赋予运算，所得的值是否有规律性呢？学生11:我把每一行的数都相加:第一行为1一2.;第二行为2—2;第三行为4-2;......于是第，z行应为2.也就是C:+C++...+C:—2.教师:真不简单呀!这

6、个性质是通过归纳猜想得到的，怎么证明它呢？（学生沉思）教师:这个式子的”源头”在哪里呀?’学生:二项式定理学生12:我是这样想的，不知对不对!要用二项式定理证明这个等式，关键是把展开式各项中的字母门，b化为1，于是令门一b_--l，就得证了.教师:大家认为她这样证明是否可以？学生13:可以.因为二项式定理对任意的n，b都正确，所以当口，b都取1时，推出的结论当然也是正确的.教师:是的!若一般情形成立，则特殊情形一定成立.我们把这种代人特殊值来解决问题的方法，称为赋值法.把二项式定理中的口,b赋T不同的特殊值，还能得到一些结论！学生14:令口一l，b—

7、—1，得C+C:+C+...c+c：+c：+....教师:其实用赋值法还能解决很多有趣的问题，请看下面例题.例1已知（2x+々3）—口0+口1+口2z.+口3z.+n4z，求（口0+U2+口4）一（al+n3）的值.学生15:先令z—1，可得口o+口1+口2+口3+n:（2+必）’，再令z——1，得口0—口l+n2—口3+口4（必一2）.再将所求的式子分解因式，代人这两个值，即可求得其值为1.教师:赋值法在这里起到了化难为易，化繁为简的作用.例2证明:l+2C+2C:+2.C:+...+2C:一3.学生16:在（l+2x）—1+2Z+2.C.+...

8、+2C::z”中，令z—1即得证.学生17:直接用二项式定理就可证得.由于3（1+2）把右边展开即得.教师: