探究：学生从知识课堂走向智慧课堂

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1、探究：学生从知识课堂走向智慧课堂——“二项式系数的性质与应用”课例及其点评北京丰台二中张健学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。“二项式系数的性质与应用”是高中数学新课程《数学选修2-3》“计数原理”中的一节内容。这节内容的难度大，探究性强，所渗透的数学思想方法较多，如何在

2、教师的引导下，让学生通过自主探究、合作交流的学习方式“体验数学发现和创造的历程”？我们对这节课作了富有成效的尝试。1．课堂教学简录教师：二项式系数之间有什么关系？（学生沉思，没有回答）教师：研究数的变化规律，一般采用什么方法？学生2：从特殊到一般的方法。教师：“从特殊到一般”的基本思路是————学生3：观察特例→找出规律→归纳猜想→给出证明。学生4：取我发现：前后两个二项式系数都是1；与两端间距相等的两个二项式系数相等；当为偶数时，中间一个二项式系数最大；当为奇数时，中间两个二项式系数最大。教师：真不错！一下就说出来三条性质。为了便于观察，我们可以对取

3、不同值，得到二项式系数表（多媒体投影图1）：图1教师：二项式的右侧的表是由左侧表计算得来的。二项式系数表构成了三角形图案，右侧这个三角形图案最早是由我国古代数学家杨辉发现的，所以又称“杨辉三角”，它比西方的“帕斯卡三角”早300多年。教师：能用式子表示这些性质吗？学生5：；；当为偶数时，以最大；当为奇数时，以和（两者相等）最大。（有其他同学补充）教师：还有其它发现吗？学生6：“杨辉三角”从第三行开始，每行的数都是先增后减。教师：怎么用数学符号表示？学生7：设，于是，可推出。即当时，；同理当时，。教师：还有其它性质吗？（学生沉默）教师：同行的数“亲如兄弟

4、”，异行的数是否也“藕断丝连”呀！学生8：任意一个数（除1以外）都等于它“两肩”上的两个数之和。教师：你能发现它很不简单！请看图2。这个性质怎么表示？图2图3学生9：任意写出一项，根据其规律即可写出其它两项（如图3），于是有＋＝，或＋＝。教师：太精彩了！由于是任意的，实际这两个等式是统一的。教师：这个性质非常重要！它可以使“杨辉三角”连续不断的写下去。你能说出各项的二项式系数吗？学生10：1，7，21，35，35，21，7，1。教师：还有其他发现吗？（学生沉思）教师：刚才我们探索了“杨辉三角”“局部”之间数的关系，若从“整体”上看呢？比如，把每一行的所

5、有数赋予运算，所得的值是否有规律性呢？学生11：我把每一行的数都相加：第一行为1＝20；第二行为2＝21；第三行为4＝22；……；于是第行应为。也就是。教师：真不简单呀！这个性质是通过归纳猜想得到的，怎么证明它呢？（学生沉思）教师：这个式子的“源头”在哪里呀？学生：二项式定理。学生12：我是这样想的，不知对不对！要用二项式定理证明这个等式，关键是把展开式各项中的字母化为1，于是令，就得证了。教师：大家认为她这样证明是否可以？学生13：可以。因为二项式定理对任意的都正确，所以当都取1时，推出的结论当然也是正确的。教师：是的！若一般情形成立，则特殊情形一定

6、成立。我们把这种代入特殊值来解决问题的方法，称为赋值法。把二项式定理中的赋予不同的特殊值，还能得到一些结论!学生14：令，得。教师：其实用赋值法还能解决很多有趣的问题，请看下面例题：例1．已知，求的值。学生15：先令，可得，再令，得。再将所求的式子分解因式，代入这两个值，即可求得其值为1。教师：赋值法在这里起到了化难为易、化繁为简的作用。例2．证明：。学生16：在中，令即得证。学生17：直接用二项式定理就可证得。由于，把右边展开即得。教师：思路都很好！用赋值法证明此题的关键是构造一个恰当的二项式；用二项式定理证明的关键是拆项。再看几个直接运用二项式系数

7、的性质来解决的问题：例3．求证：。学生18：由，即得证。教师：运用二项式系数的性质解决问题的关键是能够灵活的变换这些性质公式。例4．证明：能被1000整除。学生19：，只要能证明能被1000整除即可。而=10，于是问题得证。教师：一般来说，当时，应用进行转化，可以减少计算量。例5．证明：当为偶数时，。学生20：由上面学习的性质，我们有：，将第二个等式代入第一个等式，消去偶数项，化简后即得。2．教学特色点评数学教学从本质上说，是教师和学生以课堂为主渠道的交往活动，是教师和学生在特殊教育情境中的自主探究活动。这节课教师本着“让学生充分经历知识的形成、发展和

8、应用过程”、“充分体验数学的发现和创造历程”的教学理念，为学生的智慧生长而教，使学生在探究中“