导数与微分的matlab求解

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1、第7章导数与微分的MATLAB求解编者Outline7.1导数概念7.2导数的MATLAB符号求解7.3函数的微分7.4微分中值定理7.5洛必达法则7.6泰勒公式7.7函数的单调性与曲线的凹凸性7.8函数的极值与最值7.9曲线的渐近线7.10曲率7.11方程的近似解7.12导数的数值求解7.1导数概念1.导数的定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（假设点仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即也可记作或。将上面导数的定义式中

2、的换为即可得到导函数的定义式根据函数在点处的导数的定义，导数是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限及都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作及，即现在可以说，函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。2.导数的几何意义函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即其中是切线的倾角。如果函数在点处的导数为无穷大，这时曲线的割线以垂直于轴的直线为极限位置，即曲线在点处具有垂直于轴的切线。7.2导数的MATLAB符

3、号求解1.函数的导数与高阶导数MATLAB符号工具箱中提供了函数diff来求取一般函数的导数以及高阶导数，该函数的调用格式如下：D=diff(fx,x,n)运行结果如图所示。图函数导数的图形直观表示2.隐函数的导数方程表示一个函数，因为当自变量在内取值时，变量有确定的值与之对应。例如，当时，；当时，，等等，这样的函数称为隐函数。一般的，如果变量和满足一个方程，在一定条件下，当取某区间内的任一值时，相应的总有满足这方程的唯一的值存在，那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数。隐函数求导的一般采用如下步骤：方程两边同时对求导，这里

4、应注意；整理求得的表达式，即为隐函数的导数。3.由参数方程所确定的函数的导数若已知参数方程，则可以由如下递推公式求出：7.3函数的微分微分的定义设函数在某区间内有定义，及在该区间内，如果增量可表示为其中是不依赖于的常数，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即下面讨论函数可微的条件。设函数在点可微，则由两边同时除以，得于是，当时，由上式就可得到因此，如果函数在点可微，则在点也一定可导（即存在），且反之，如果在点可导，即存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成其中，由此又有因，且不依赖于，故所以函

5、数在点也是可微的。通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作，即。于是，函数的微分又可记作从而有，这就是说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做“微商”。2.微分的几何意义在直角坐标系中，函数的图形是一条曲线。对于某一固定的值，曲线上有一个确定点，当自变量有微小增量时，就得到曲线上另一点，由图可知：过点作曲线的切线，它的倾角为，则即。微分的几何意义7.4微分中值定理1.罗尔定理为更好地理解罗尔定理，先介绍费马引理：设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有那么。介绍罗尔定理，如果函数满

6、足：在闭区间上连续；在开区间内可导；在区间端点处的函数值相等，即。那么在内至少有一点，使得。罗尔定理的直观演示如图所示。图罗尔定理图形直观表示2.拉格朗日中值定理罗尔定理中这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制。如果把这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应的改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理。如果函数满足：在闭区间上连续；在开区间内可导；那么在内至少有一点，使得成立。关于拉格朗日中值定理的证明此处从略，这里仅介绍该定理的几何意义，如图所示。由于上式可以改写为且为弦的斜率，而为曲线在点处的切线

7、的斜率。因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，那么该弧上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于弦。而且易知，罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形。拉格朗日中值定理图形直观表示3.柯西中值定理前面已经指出，如果连续曲线弧上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么这段弧上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于弦。设由参数方程表示，如图所示。其中为参数，那么曲线上点处的切线的斜率为弦的斜率为假定点对应于参数，那么曲线上点处的切线平行于弦，可表示为柯西中值定理图形直观表示7.5洛必达法

8、则1.型洛必达法则如果当时，两个函数与都区域零或趋于无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为或。关于未定式极限我们通常使用洛必达法（L'Hospital）则求解，本小节先介绍和时的型未定式的求解方法。这里不加证明的给出如下两个定理：设函数与满足：当时，