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《高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理课时训练 理 新人教a版选修2-3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3二项式定理1．二项式定理（1）二项式定理，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有____________项，其中各项的系数_____________叫做二项式系数.说明：二项式定理中的既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设，则得到公式：.（2）二项展开式的通项二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第__________项：.2．“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）杨辉三角当n依次取1,2，3，…时，展开式的二项式系数可以表示成如下形式：该表称为“杨辉三角
2、”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______.（2）二项式系数的性质①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数_________.事实上，这一性质可直接由公式得到.②增减性与最大值.当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n是偶数时，中间的一项的二项式系数_________最大；当n是奇数时，中间的两项的二项式系数_________相等且最大.③各二项式系数的和.已知.
3、令，则.也就是说，的展开式的各个二项式系数的和为_________.参考答案：1．（1）n+1（2）2．（1）和（2）①相等②③K—重点二项式定理及二项展开式的通项公式K—难点用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题K—易错容易混淆项与项的系数，项的系数与项的二项式系数一、二项展开式中特定项（项的系数）的计算求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.一定要记准二项式的展开式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷.【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求
4、含的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.【解析】（1）由通项公式得，因为第6项为常数项，所以时，有，解得，令，得，故所求系数为.（2）根据通项公式，由题意得,令,则，即，因为，所以应为偶数，所以可以取，即可以取2,5,8，所以第3项、第6项、第9项为有理项，它们分别为，,，即.【名师点睛】第m项是令；常数项是该项中不含“变元”，即“变元”的幂指数为0；有理项是通项中“变元”的幂指数为整数.【例2】（2015陕西）二项式的展开式中的系数为15，则A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所
5、以，即，解得或，因为，所以，故选C．二、与二项式定理有关的求和问题二项式定理中，既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.我们在求和时，要根据具体问题灵活选取的值.【例3】在的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项的系数和与偶数项的系数和；（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.【解析】设,各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,x的奇次项系数和为,x的偶数项系数和为.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.（1）二项式系数的和
6、为.（2）令x＝y＝1,得各项系数和为.（3）奇数项的二项式系数和为.偶数项的二项式系数和为.（4）令x＝y＝1,得①.令x＝1,y＝－1(或x＝－1,y＝1)，得②.①＋②得,故奇数项的系数和为.①－②得,故偶数项的系数和为.（5）x的奇次项系数和为；x的偶次项系数和为.【名师点睛】二项式定理是一个恒等式，即对的一切值都成立，在做题时，的值一般取，1或0.三、整除、求余问题有关整除、求余问题是二项式定理的应用之一，关键在于如何把问题转化为一个二项式问题，注意结合二项式定理和整除、求余的有关知识来解决.【例4】利用二项式定理证明2n+2·3n
7、+5n－4()能被25整除.【解析】因为2n+2·3n＝4×(1＋5)n，所以2n+2·3n＋5n－4，则n≥2时，2n+2·3n＋5n－4能被25整除，当n＝1时，2n+2·3n＋5n－4＝25.所以，当时，2n+2·3n＋5n－4能被25整除.四、混淆项的系数与项的二项式系数【例5】若的展开式中常数项为1120,则展开式中各项系数之和为 .【错解】的展开式中各项系数之和为.【错因分析】错解中误把求展开式中各项系数之和理解为求展开式中二项式系数的和，二者是不同的概念.【正解】的展开式的通项为,令8-2r=0,解得r=4,则·(-a2)4
8、=1120,解得a2=2,故，令x=1,则展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.【名师点睛】一个二项展开式的第项的二项式系数是，所有的二项式系数是一组仅与二项式的
