高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理教学设计 新人教a版选修2-3

《高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理教学设计 新人教a版选修2-3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二项式定理一、教学目标1、知识与技能：（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广；（2）理解并掌握二项式定理，能利用组合思想证明二项式定理．2、过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．3、情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造的过程，体会数学语言的简洁和严谨．二、教学重点、难点重点：用组合思想分析、的展开式，得到二项式定理．难点：用组合思想分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项

2、式之和时各项系数的规律．三、教学手段制作多媒体课件，以增加课堂容量，提高学生的兴趣，使学生加深对定理、概念的理解．四、课型：新授课．五、教学过程（一）提出问题，引入课题（提问）：若今天是星期三，今天是第一天，那么第天是星期几？【设计意图】把问题作为教学的出发点，引出课题，激发学生的求知欲，明确本课题要解决的问题．复习引入：初中学习的完全平方式是什么？你能写出、的展开式吗？【设计意图】通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开问题，目的是为了让学生了解知识发生、发展的过程，激发学生的认知的冲突，让学生明白实质上是多

3、项式的乘法．（二）引导探究，发现规律探究1：仿照上述过程，请你推导的展开式．（再提问），，…，的展开式呢？（太无聊了吧！我们应该寻求一个能代表这些式子的一个通式）【提出问题】求的展开式探究2：通过组合思想来分析这两个式子的展开式．观察此式：【问题1】：有几项？【问题2】：展开式中各项字母的形式是什么？【问题3】：展开式中项的次数是什么？【问题4】：怎么得到项，项，项？【问题5】：项，项前的系数为什么是，项前的系数为什么是？能否用学过的组合知识分析这个问题？由多项式乘法知，其展开式的每一项是由个各取一项相乘而得，故每一项都是形式

4、，即，，．各项系数是由相同的项合并而成，有几项其系数就是几，故当时，，是由个中都不选得到的，相当于从个中取个（即都取）的组合数，因此只有个，系数为：；当时，，是由一个中选，另一个中选得到的，由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从个中取个的组合数，即共有个，系数为：；当时，，是由个中都选得到的，相当于从个中取个的组合数，因此只有个，系数为：．从而可得：【问题6】仿照上述过程，请你推导的展开式．【问题7】能猜想写出的展开式吗？【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用组合思想对、的展开式进行再思考，分析各项的形

5、成，项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．（三）形成定理，说理证明探究3：仿照上述过程，请你猜想的展开式【问题8】的展开式又是怎样的呢？引导学生回答：可以对分类：取个,取个,取个,…,取个,…,取个将这个式子相加，可得二项式定理【问题9】如何证明这个猜想呢？证明：是个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选或选，由分步计数原理可知展开式共有项（包括同类项），其中每一项都是的形式，对于每一项，它是由个选了，个选了得到的，它出现的次数相当于从个中取个的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，

6、这就是二项式定理．【设计意图】通过仿照，展开式的探究方法，由学生类比得出的展开式．二项式的定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析、概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．（四）概念剖析1、二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）（1）项数：共有项；（2）各项次数：各项的次数都等于；（3）各项中、的幂排列：字母按降幂排列，次数由递减到；字母按升幂排列，次数由递增到．2、二项展开式的通项：式中的叫做二项展开式的通项，用表示．即通项为展开的第项

7、，．（、的位置不能对换）3、二项式系数：依次为这里称为二项式系数．（注意：二项式系数与项的系数的区别）4、二项式定理是个恒等式，定理中字母、可表示数或式，其中．（提问）写出的展开式．【设计意图】对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理解决问题时能得心应手．解决课前提出的问题：第天是星期三．（五）熟悉定理，简单应用例求的展开式．思考：展开式的第项的系数是多少？思考：展开式的第项的二项式系数是多少？思考：你能否直接求出展开式的第项？思考4：求展开式中的．【设计意图】例目的在于对定理中字母、所表示的数或

8、式的领会及提高运用定理的能力，熟悉二项展开式，培养学生的运算能力；从思考1与思考2中体会项的系数与二项式系数的区别；思考3与思考4是通项的应用．例（1）求展开式的第项；（1）求展开式的第项；【设计意图】例二题着重于学生对通项公式的掌握，体会二项式定理的展开式中与位置不能对换，