ex9-4,任意项级数

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1、习题9.4任意项级数1.讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)⑴1-+-+…;⑵（≠）；⑶;⑷;⑸;⑹;⑺;⑻;⑼;⑽;⑾;⑿().解（1）设级数1-+-+…的部分和数列为，则，由于级数收敛，发散，所以，因此级数1-+-+…发散。（2）级数（≠）当充分大（即）时是交错级数，且单调减少趋于零，所以（≠）收敛；又由于～,发散，所以级数（≠）条件收敛。（3）当时的一般项都为零，所以级数绝对收敛。15设，当充分大（即）时是交错级数，且单调减少趋于零，所以收敛；又由于～，发散，所以级数条件收敛。（4），因此不存在，所以发散。（5）是交错级数，当，单调减少趋于零，所以级数收

2、敛；又由于发散，所以级数条件收敛。（6）设的部分和数列为，则，由于，和都是Leibniz级数，即都是收敛的，所以存在且有限。容易证明，由此可知级数收敛。由于，发散，所以级数条件收敛。（7）当时，由于，，收敛，所以级数绝对收敛。15当时，，所以是条件收敛级数。在其他情况下，由于，，级数的一般项趋于无穷大，所以级数发散。（8）当时，级数的一般项都为零，所以级数绝对收敛。设。当时，由于，所以级数绝对收敛。当时，由于，由Dirichlet判别法，收敛，而发散，所以级数发散。当时，由于级数的一般项不趋于零，所以级数发散。（9）设，则，所以当时，绝对收敛；当时，发散；15当时，级数

3、的一般项不趋于零，所以也发散。（10）设。由于单调减少趋于零，所以是Leibniz级数，因此收敛。因为～，发散，所以级数条件收敛。（11）设，则，所以当时，级数绝对收敛；当时，级数发散；当时，，因此当或时级数（绝对）收敛，在其他情况下级数发散；当时，，因此当或时级数绝对收敛，当或或时级数条件收敛，在其他情况下级数发散。（12）设。当时，，所以级数绝对收敛；当时，，级数条件收敛；当时，由于收敛，单调有界，由Abel判别法，级数收敛，但由于～，15发散，所以级数条件收敛。2.利用Cauchy收敛原理证明下述级数发散：⑴1+-++-++-+…;⑵1-++-++-++…。证（1

4、）设级数的一般项为，则，由于可以取任意大，由Cauchy收敛原理可知级数发散。（2）设级数的一般项为，则，由于可以取任意大，由Cauchy收敛原理可知级数发散。3.设正项级数收敛，｛｝单调减少，利用Cauchy收敛原理证明：=0。证由收敛，对任意给定的，存在正整数，对一切，成立。取，则当时，有，于是成立，即。4.若对任意和任意正整数p，存在，使得｜++…+｜对一切n＞N成立，问级数是否收敛？解级数不一定收敛。例如：级数发散，但对任意和任意正整数p，取，当时，15。5.若级数收敛，=1，问级数是否收敛?解不一定收敛。反例：,，则=1，但级数收敛，而级数发散。6.设，=0，

5、问交错级数是否收敛?解不一定收敛。反例：，则，，但发散。7.设正项数列单调减少，且级数发散。问级数是否收敛？并说明理由。解级数收敛。因为正项数列单调减少，所以必定收敛。如果，则是Leibniz级数，因此收敛，与条件矛盾，所以必定有，于是当充分大时，，因此收敛。8.设级数收敛，则当时，级数也收敛。证,由于收敛，单调有界，利用Abel15判别法，可知级数收敛。注本题也可利用Dirichlet判别法证明。9.若｛｝收敛，收敛，则级数收敛。证令,则。利用Abel变换，得到。由于，因为数列单调有界，级数收敛，由Abel判别法，收敛。再由数列｛｝的收敛性，即可知级数收敛。10.若绝

6、对收敛，收敛，则级数收敛。证由于收敛,可知：。由于绝对收敛,所以收敛,于是可知有界。设,,令,利用Abel变换，得到。由Cauchy收敛原理，可知级数收敛。11．设在上具有二阶连续导数，且。15证明级数绝对收敛。证由可知,,于是～（），所以级数绝对收敛。12.已知任意项级数发散，证明级数也发散。证采用反证法。令，若收敛，因为单调有界，则由Abel判别法,收敛，与条件矛盾，所以级数发散。13.设＞0，n＞0，证明：交错级数收敛。证设，首先可知当充分大时有，即数列当充分大时是单调减少的。然后取，使得，可知当充分大时，成立，从而，这说明数列当充分大时也是单调减少的,于是存在，

7、使得，即，从而数列趋于零。因此交错级数是Leibniz级数，所以收敛。14.利用151+++…+-lnn→()，其中是Euler常数(见例2.4.8)，求下述的更序级数的和：1+-++-++-+…。解.设++…+，设级数1+-++-++-+…的部分和数列为，则1++++++…，，于是。由，得到。由于，所以。15.利用级数的Cauchy乘积证明：(1)=1；(2)==(｜q｜＜1。解（1）设，则，且当时，，所以=1。（2）设=，则。15又由于，所以，从而得到==。习题9.5无穷乘积1.讨论下述无穷乘积的敛散性⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺;⑻;