12.2任意项级数

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1、任意项级数的判敛程序各位老师大家好，今天我试讲的内容是任意项级数的判敛程序。在之前的课程当中，我们学习了常数项级数的判敛程序，那么让我们先来回顾一下：比较法的极限形式根值法比值法根值法发散极限形式不适用发散比较法的一般形式根值法收敛其中，比值法适用于的一般项中有或的若干连乘的形式；根值法适用于的一般项中有指数幂的因子。那么在我们学习了任意项级数的知识以后，是否也能找到一个类似的工具，让我们在解本节题目的时候，有的放矢？那么让我们来看看我们在任意项级数这个部分都学习了那些新的知识：1.绝对收敛的定义：如果级数各项的绝对值所构成的正项级数收敛，则称级数绝对

2、收敛；2.条件收敛的定义：如果级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛；3.定理：如果级数绝对收敛，则级数必定收敛。简单来说，在这部分，我们得到了2个新的定义和一个与绝对收敛相关的定理。从这里我们可以得到一个简单的结论：对于任意项级数敛散性的判别，我们会得到3种结论：绝对收敛、条件收敛和发散。对于这3种收敛和发散的强弱度的理解，我们可以参照之前我们讲述的一个级数的性质类似的去看待。让我们一起来回忆一下那个性质：如果级数收敛，则对这个级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。对于这个性质，我们继续回忆它的图表解释：去括号加括号发散收敛即我们可以说，

3、加括号是想让级数往收敛的方向发展，而去括号会使得级数往发散方向发展，因此，我们可以肯定的是：收敛的级数加括号仍收敛，发散的级数去括号会更加发散。那么对于绝对收敛、条件收敛、发散，结合它们的定义，我们可以用下面的图表去解释：EDCBA去绝对值发散条件收敛绝对收敛加绝对值由上面的图我们可以看到，绝对收敛是比较强势的一种收敛，或者说它较条件收敛更加“收敛”。而条件收敛相对收敛程度较弱一些，然后才是发散。那么，我们对于一个任意项级数，给它加上绝对值，会把它的敛散性向左方移动，（究竟会不会越过这里的两个界限我们不得而知），而去掉绝对值，会把它的敛散性向右方移动（

4、究竟会不会越过这里的两个界限我们不得而知），再结合我们这里唯一的一个定理，其实，它只描述了由B到A这部分的敛散性关系，也就是说如果在B的这个位置，那么一定在A这个位置。但结合图我们还会发现，如果在D这个位置，那么一定在E的这个位置，也就是说，如果已经发散了，那么会“更加”发散。另一方面，对于在对任意项级数判别过程当中使用加绝对值这一方法，我们不难发现，对于任意项级数，我们在使用级数的必要条件判别一般项趋于零之后，首先将其（加绝对值）变成是正项级数，判别其是否（绝对）收敛，如果收敛，则是绝对收敛，既然这里成了正项级数的判别，我们可以直接利用正项级数的判敛

5、程序解决它；否则，再退一步，看它在加绝对值发散时，去掉绝对值是否收敛，从图上面表示即使从D到C，这也是条件收敛的定义，对于判别一个级数是否在这时收敛，由于这时级数一般项符号不定，我们没有理由不采用莱布尼兹准则来判断其敛散性，这时，如果判定级数收敛，那么它满足条件收敛的定义，不然的话，我们只能认为这个级数发散了。按照上面的描述，下面我们来尝试建立对于任意项级数的敛散性的判别程序：发散正项级数的判敛程序莱布尼兹准则根值法发散收敛收敛绝对收敛条件收敛根值法例：设常数，则级数的敛散性是（）A．发散B.绝对收敛C.条件收敛D.收敛或发散与k的取值有关解：首先不难

6、判断的一般项当时趋于零，而实际操作过程当中，将一个复杂级数拆项为两个简单级数之和也是常用的方法，那么有：不难发现，前一个级数绝对收敛，后一个级数条件收敛，所以条件收敛。