函数概念,单调性与最值

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1、第1讲 函数及其表示【2014年高考会这样考】1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法.2.考查分段函数的简单应用.3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与其他知识结合考查.【复习指导】正确理解函数的概念是学好函数的关键,函数的概念比较抽象,应通过适量练习弥补理解的缺陷,纠正理解上的错误.本讲复习还应掌握:(1)求函数的定义域的方法;(2)求函数解析式的基本方法;(3)分段函数及其应用.基础梳理1.函数的基本概念(1)函数的定义:设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合

2、A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫自变量,x的取值范围A叫做定义域,与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)

3、x∈A}叫值域.值域是集合B的子集.(3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等;这是判断两函数相等的依据.2.函数的三种表示方法表示函数的常用方

4、法有:解析法、列表法、图象法.3.映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.一个方法求复合函数y=f(t),t=q(x)的定义域的方法:①若y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得a<q(x)<b即可求出y=f(q(x))的定义域;②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域.两个防范(1)解决函

5、数问题,必须优先考虑函数的定义域.(2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性.三个要素函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射f:A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.双基自测1.(人教A版教材习题改编)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为(  ).A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)解析 ∵3x+1>1,∴f(x)=log2(3x+1

6、)>log21=0.答案 A2.(2011·江西)若f(x)=,则f(x)的定义域为(  ).A.B.C.D.(0,+∞)解析 由log(2x+1)>0,即0<2x+1<1,解得-<x<0.答案 A3.下列各对函数中,表示同一函数的是(  ).A.f(x)=lgx2,g(x)=2lgxB.f(x)=lg,g(x)=lg(x+1)-lg(x-1)C.f(u)=,g(v)=D.f(x)=()2,g(x)=答案 C4.(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数

7、除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(  ).A.y=B.y=C.y=D.y=解析 根据规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,即余数分别为7、8、9时可增选一名代表.因此利用取整函数可表示为y=.故选B.答案 B5.函数y=f(x)的图象如图所示.那么,f(x)的定义域是________;值域是________;其中只与x的一个值对应的y值的

8、范围是________.解析 任作直线x=a,当a不在函数y=f(x)定义域内时,直线x=a与函数y=f(x)图象没有交点;当a在函数y=f(x)定义域内时,直线x=a与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点.任作直线y=b,当直线y=b与函数y=f(x)的图象有交点,则b在函数y=f(x)的值域内;当直线y=b与函数y=f(x)的图象没有交点,则b不在函数y=f(x)的值域内.答案 [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]  考向一 求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义

9、域:(1)f(x)=;(2)f(x)=.[审题视点]理解各代数式有意义的前提,列不等式解得.解 (1)要使函数f(x)有意义,必须且只须解不等式组得x≥3,因此函数f(x)的定义域为[3,+∞).(2)要使函数有意义,必须且只须即解得:-1

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