sylow对象具有给定局部性质的有限群

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1、中文摘要群论是代数学的一个重要分支。有限群研究的一个主要任务就是研究各种群的构造。追溯到上世纪六、七十年代，平行于有限单群分类问题的研究，大量的关于有限可解群的深刻而优美的结果也随之产生。1980年，H．Wielandt提出，在有限群分类问题基本解决之后，应优先考虑将有限可解群的结果拓展到一般群类的领域。130多年前发表的Sylow定理以及随之产生的各种Sylow对象，是长期以来有限群论的中心发展方向之一。在群论研究中，Sylow对象(准素子群、准素予群的正规化子和中心化子、Hall子群、Carter子群等)在有关寻找有限群的正规子群的Frobenius定理，Burn

2、side定理，Glauberman定理等著名定理中被广泛应用。借助于Sylow2一予群，Brauer，Uolter，Gorenstein，Gilman，Janko，Mazurov，Seiskin等许多数学家用它来刻画单群。同样，准素子群和它的正规化子导致了群分析的局部理论，该理论成为有限单群分类理论的基础。研究群的可解性，Sylow对象同样起着十分重要的作用。近年来，在单群分类解决之后，可解群和群类理论得到了蓬勃发展，Sylow对象的研究出现了大量新的重要成果，它们正促进着群论和相关代数学科的发展。一个子群H称为在G中可补的，如果存在一个子群K，使得G=日K且日nK=

3、1。作为可补的更一般性概念，群G的子群日称为在G中可补充，如果存在G的予群K满足G=日K，此时K称为H在G中的补充。众所周知，子群的可补性质对有限群研究有着重要的作用。例如，1937年，Hall证明了：一个有限群G是可解的当且仅当G的任意Sylow子群在G中可补。1965年，Kegel证明了：如果群G的任意极大子群在G中有循环补充或G的某一个幂零子群在G中有幂零补充，则G可解。1982年，Arad和、Ⅳard证明了G是可解的当且仅当G的任意Sylow2．子群和任意Sylow3-子群在G中可补。作为以上研究的发展，近年来，国内外许多学者利用Sylow对象的可补性质开展了

4、广泛而深入的研究。如王燕鸣在1996年介绍了c．J下规子群(c-补)的概念，证明了G是可解的当且仅当G的每个极大子群在G中c-正规。1999年，郭秀云等证明了：如果群G的任意Sylow子群的极大子群在G中可补，或G的每个极小子群在G中可补，则G是超可解的。2008年，郭文彬给出了乒可补子群的概念，结合群类理论，利扬州大学博士学位论文用子群的乒可补性质得到了有关可解群和超可解群的一些新的刻画。对于非可解群，一些学者利用广义Fitting子群F·(G)的某些准素子群的局部性质，得到了有限群结构的一些新的信息。作为以上工作的继续，本学位论文结合群类群系理论，从另一角度对子群

5、的补充加以限制，给出了只一可补子群的概念，并利用￡．可补子群的性质得到了群的一些新的重要性质和结构。特别地，利mSylaw对象的兀一可补的性质对可解群群类、矿幂零群群类、矿超可解群群类等具体群类进行了细致的刻画。同时通过对Fitting子群和广义Fitting子群中某些准素子群的兀．可补性质的考察，研究了相关群类和群系的性质和结构。作为一类特殊的可补子群的局部性质，兀一可补性可以认为是对子群可补性研究的自然延伸，而且随着与群类群系理论的相结合，就可以产生一系列新的方法来揭示有限群的构造。本论文主要分三个部分讨论TSylow对象具有局部性质的有限群的构造。第一部分，对于

6、一个群类兀我们首先构造并定义了只．可补子群的概念，较系统地研究了兀一可补子群的一般性质，其中利用Sylow子群的极大子群、正规化子等重要Sylow对象的只．可补性质对矿幂零群、p超可解群的结构进行了较为广泛而深入的研究，得到了一批新成果。主要结果有：设G是有限群，p是lal的奇素凶子，P是G的Sylowp-子群。那么G是p幂零的充分必要条件是如果ⅣG(P)是p幂零的且P的每一个极大子群在G中五．可补，这里，是所有p幂零群组成的群类。设G是p可解群，p是IVI的一个素因子。那么G是p超可解的当且仅当Fp(G)的非循环Sylowp-子群的每个极人子群在G中兀．可补，这里厂

7、是由所静超可解群组成的群类。接着结合群类群系理论，通过对Fitting子群和广义Fitting子群中某些子群的兀．可补性质的考察，得到了一个群属于某些包含超可解群系的饱和群系的条件，研究了相关群类和群系的性质和结构。主要结果有：设尸是包含纠的一个饱和群系，这里“表示由所有超可解群组成的群系。假设G是一个群，日是G的正规子群且满足G／H∈厂。如果P(日)的非循环的Sylow子群的任意极大子群在G中或者有超可解补，或者有玩一补，则G∈户。此结论推广了韦华全的结果：设歹是包甜的一个饱和群系，这里“表示由所以超可解群组成的群系。假设G是一个群，日是G正规子群