中学数学研究-陕080552高中生对斜率概念的理解

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1、资料编号14417直线和圆的方程直线斜率摘要张献峰发表在陕080552上属于教法、辅导、章节题为《高中生对斜率概念的理解》1问题提出《普通高中数学课程标准（实验）》明确要求理解直线的倾斜角和斜率的概念，要经历用代数方法刻画直线斜率的过程，并掌握直线斜率的计算公式．从英美数学课程标准来看，对基本数学概念的学习都比较注重过程的理解，在学生自行探究的过程中去获得对概念的理解，我国的课程标准对概念的教学要求也逐渐在向英美靠拢，强调要在过程中形成概念．斜率在国内外中学数学课程中出现了许多不同形式的表征．在几何上，它是直线的一个性质：

2、已知两点和，连结这两点的直线的斜率为。在代数上，它是线性方程的一个参数：斜率为一次函数中的系数k或一次方程中的系数比值·在三角函数中，它是直线倾斜角的正切值，即．从函数方面看，它表示某一变量关于另一变量的变化率．在现实生活中，斜率出现于两种不同的情境中一是物理情境，如山路、滑雪山坡等，斜率表示坡度的大小，二是函数情境，如时何与距离、产量与成本，斜率表示变化率的大小．斜率不仅是几何上的概念，又有代数、三角方面的表征形式，它是一个具有发展特性的概念，从三角、变量比到变化率、导数，从常量到变量，是一个不断变化与深人的过程，国外学

3、者的研究表明[1]——[4]，学习斜率过程中学生的理解存在诸多问题，同时．教师的斜率教学知识也存在着一定局限性．本文基于调查探讨了高中生是如何理解斜率概念的及不同表征之间有何差异的问题．2研究设计与实施本研究选择了浙江省某二级重点中学部分高二、高三学生与某一级重点中学的高二部分学生，其中高二、高三为理科班学生，共抽取了335人的一个样本．其中高二234人，高三101人，采取了间卷调查与访谈相结合的形式，数据收集是在高二教学斜率概念一学期后进行的，数据分析运用了SPsslo软件．3测试结果第1题（编者注：测试题见本文附录）测

4、试学生对斜率不同表征的认识，以选择题形式给出，学生对斜率公式、定义、符号的认识占据主导地位，由于高三学生已学过导数，对它的几何意义有较好的认识，因此对选项G求切线的斜率需由导数值确定是很自然的事情，选择率较高，高二学生对后面几项平时不太接触的比值、变化率、坡度等形式，选择率不高．特别是对于变化率的概念，被测试者只有三成选择(表1)第2、3两题侧试了斜率的三角形式和公式计算．学生都能较好的理解与掌握，应用时得心应手，正确率达92肠以上，能清晰地认识到倾斜角变化时斜率是如何发生变化的，但计算时也有被侧试者由于二倍角公式记忆不清

5、导致结果错误．第4题是由一道高考题改编的，被恻试对象为高三学生，目的是考查学生能否深刻理解导数的几何意义．这对正在高考复习的高三学生来说并不难，正确率达83%，但要选择什么样的策略来解决，既简便又确保正确，却不是一件容易的事．直观上是要分析各函数在（1,2）上的增长率的差异，能否比较明显地确定各函数的陡峭程度，有15％的被侧试者是通过画图进行比较的，但深入分析这个问题，由可考虑曲线上任意两点连线的斜率值，再联系导数的意义就可解决，实际只有35％的被侧试者采用了求选项导数值的策略．为什么一看到式子，就能想到它所刻画的是曲线上

6、某点处切线的斜率呢？这也是高考所考查的一种能力与潜质．第5题给出了匀速运动物体图，两条直线能够反映两个物体的速度大小，84.16％的被测试者能判断不同时刻物体A的速度大于物体B的速度，有83.17％的被测试者能利用某个时间段内物体位移的改变量来列式估算，得出两物体的速度分别为7.5。m/s和2,5cm/5，或者0.075m/s和0.025m/s，但在回答斜率时，部分被测试者仍认为是0.075和0.025。第6题中的两图象要联系物理意义来回答直线的斜率值．右图中无论是利用还是都能得到k=1．利用得到答案的被测试者占了多数，约

7、有三成的被测试者通过乏得到答案，但在左图中也采用了而导致错误，以为直线与横轴的夹角就是直线的倾斜角，没有区别两个问题的差别，造成了思维上的定势．4年级差异随着知识增长，概念的表征方式也逐渐多样化．在斜率定义、计算与字母符号形式方面学生相对较熟悉，高三学生学过导数后，对其几何意义、变化率都有了一定的认识，在表征上明显要丰富．而对实际生活中或与教材内容联系不紧的表征块乏了解，其中差异较大的是变化率表征，调查显示学生对变化率概念不甚清楚，而学过导数的学生在这一点上有明显的优势．高二学生刚学过斜率概念，在三角形式、斜率公式、直线方

8、程中系数含义三种表征上占主导地位，两个年级的选项B、C、E在0.05水平下呈现出显著性的差异（表2)虽然斜率的各种表征形式能够帮助学生较全面地理解概念，但必须分清在何种情境下斜率是如何表现的，否则会导致胡乱联系，甚至于产生矛盾．在回答第6题时，有三成的被测试者胡乱联系斜率的三角表征，误以为直线平分直角得