具有一般疾病发生率的SIRS传染病模型分析

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1、第３５卷第１期西南大学学报（自然科学版）２０１３年１月Ｖｏｌ．３５Ｎｏ．１ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｊａｎ．２０１３文章编号：１６７３－９８６８（２０１３）０１－００６９－０５具有一般疾病发生率的ＳＩＲＳ传染病模型分析①杨世新１，刘贤宁２１．四川民族学院数学系，四川康定６２６００１；２．西南大学数学与统计学院，重庆４００７１５摘要：分析了人口输入为常数时具有自然死亡和一般疾病发生率的ＳＩＲＳ传染病模型，得到了模型无病平衡

2、点和地方病平衡点的存在性及其全局渐近稳定性．关键词：传染病模型；疾病发生率；全局渐近稳定性中图分类号：Ｏ１７５．１文献标志码：Ａ利用动力学的方法来建立传染病的数学模型，并通过模型对传染病进行定性、定量分析，这是研究传染病的一种重要方法，通过对模型动力学性态的研究，可以揭示疾病的流行规律，预测疾病变化发展的趋［１］势，分析其流行的原因，寻求对疾病预防和控制的最优策略，为人们制定预防决策提供理论依据．由于实际生活中易感者发病的多少不仅与染病者数量有关，更与疾病本身的传染性强弱有关，因此，ｐｋＳＩ更合

3、理的疾病发生率应该是非线性的．近年来，随着研究的深入，对具有非线性疾病发生率的传染ｑ１＋αＩ２ｋＳＩｋＳＩ病模型已有不少研究成果：文献［２］讨论了疾病发生率为的传染病模型；文献［３］讨论了的传２１＋αＩ１＋αＩｋＳＩｋＳＩ染病模型；文献［４］讨论了的传染病模型；文献［５］讨论了的传染病模型；文献［６－７］则讨３２１＋αＩ１＋αＩ论了满足一定条件形如ｆ（Ｓ，Ｉ）的更一般疾病发生率．本文引入一般疾病发生率ｇ（Ｉ）Ｓ，在只考虑自然死亡前提下研究了ｇ（Ｉ）满足一定条件的一类ＳＩＲＳ传染病模型的无病平衡点

4、和地方病平衡点的存在性和稳定性．这里考虑的疾病发生率包含了文献［２，４－５］中的疾病发生率函数．文献［６－７］由于有特定条件限制，虽与本文有一定关联但并不能包含本文研究的疾病发生率和相关结论．１ＳＩＲＳ传染病模型假设人口的输入为常数，不因时间变化而改变；易感者一旦被传染就成为染病者，染病者恢复后成为恢复者，而恢复者只具有短暂的免疫力，免疫力丧失后，恢复者又成为易感者．只考虑自然死亡率和具有一般疾病发生率ｇ（Ｉ）Ｓ函数的ＳＩＲＳ传染病模型：ｄＳ烄＝ｂ－ｄＳ－ｇ（Ｉ）Ｓ＋γＲｄｔｄＩ烅＝ｇ（Ｉ）Ｓ－

5、（ｄ＋μ）Ｉ（１）ｄｔｄＲ＝μＩ－（ｄ＋γ）Ｒ烆ｄｔ①收稿日期：２０１１－０５－１２基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０９７１１６８）；教育部科学技术研究重点项目（１０９１３２）．作者简介：杨世新（１９６６－），男，四川康定人，副教授，主要从事微分方程理论研究．通信作者：刘贤宁，博士，教授．７０西南大学学报（自然科学版）ｈｔｔｐ：／／ｘｂｂｊｂ．ｓｗｕ．ｃｎ第３５卷其中：Ｓ（ｔ），Ｉ（ｔ）与Ｒ（ｔ）分别表示易感者、染病者和恢复者的人数．人口的输入为常数ｂ＞０；自然死亡率系数ｄ＞０；染病者恢复

6、率系数μ＞０；恢复者的免疫失去率系数γ＞０．假设一般疾病发生率ｇ（Ｉ）Ｓ中ｇ（Ｉ）满足：１）在［０，＋∞）上连续、可导，ｇ（０）＝０，在（０，＋∞）上ｇ（Ｉ）＞０及ｌｉｍｇ（Ｉ）存在；Ｉ→＋∞２）在（０，＋∞）上满足：ｇ（Ｉ）－Ｉｇ′（Ｉ）≥０（２）显然，文献［２，４－５］中的疾病发生率函数均满足这两个条件．２平衡点的存在性及其稳定性分析ｂ首先，由模型（１）中（Ｓ＋Ｉ＋Ｒ）′＝ｂ－ｄ（Ｓ＋Ｉ＋Ｒ）得ｌｉｍ（Ｓ＋Ｉ＋Ｒ）＝，结合其实际意义知，系ｔ→＋∞ｄｂｂ统有意义的范围为Ω＝｛（Ｓ，Ｉ，Ｒ）｜Ｓ

7、≥０，Ｉ≥０，Ｒ≥０，Ｓ＋Ｉ＋Ｒ≤｝，且平面Ｓ＋Ｉ＋Ｒ＝为ｄｄ系统（１）的正不变集．由极限系统理论，可将模型（１）降低维数化为：ｄＩｂ烄＝ｇ（Ｉ）－Ｉ－Ｒ－（ｄ＋μ）ＩＰ（Ｉ，Ｒ）ｄｔ（ｄ）（３）烅ｄＲ＝μＩ－（ｄ＋γ）ＲＱ（Ｉ，Ｒ）烆ｄｔ则平衡点由方程组：ｂ烄ｇ（Ｉ）（－Ｉ－Ｒ）－（ｄ＋μ）Ｉ＝０ｄ烅烆μＩ－（ｄ＋γ）Ｒ＝０得ｂμｇ（Ｉ）（－Ｉ－Ｉ）－（ｄ＋μ）Ｉ＝０（４）ｄｄ＋γ易知模型（３）始终有一个无病平衡点Ｅ０（０，０），对应模型（１）无病平衡点Ｅ０ｂ，０，０；模型（３）地方病平（

8、ｄ）（ｄ＋）Ｉ＊＊衡点Ｅ＊（Ｉ＊，Ｒ＊），对应模型（１）地方病平衡点Ｅ＊（Ｓ＊，Ｉ＊，Ｒ＊），其中，Ｓ＊＝μ，Ｒ＊＝μＩ，＊）ｇ（Ｉｄ＋γ＊是方程（４）的正根．Ｉｂｇ′＋（０）记Ｒ０＝，则有下面的定理１．ｄ（ｄ＋μ）定理１?当Ｒ０＜１时，模型（３）没有地方病平衡点．＊（Ｉ＊，Ｒ＊）．?当Ｒ０＞１时，模型（３）存在唯一地方病平衡点Ｅ证根据所给的条件，即一般疾病发生率ｇ（Ｉ）满足：１）在［０，＋∞）上连续、可导，ｇ（０）＝０，在（０，＋∞）上ｇ（Ｉ）＞０及ｌｉｍｇ（Ｉ）存在；Ｉ→＋∞２）在（０，＋∞