双曲线的定义及其标准方程(1)

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1、拼搏改变命运，励志照亮人生高2012级数学备课组主备人：，，2021年7月15日星期四问题1：椭圆的定义是什么？平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于

2、F1F2

3、）的点的轨迹叫做椭圆。问题2：椭圆的标准方程是怎样的?ab，c，关系如何？2222xyyx222221(ab0)或221(ab0)abcabab问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？一、双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于

4、F1F2

5、，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定

6、点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。通常情况下，我们把

7、FF

8、记为2c（c>0)；常数记为2a(a>0).12问题3:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？问题4:定义中为什么强调常数要小于

9、FF

10、且不等于0（即0<2a<2c）？12如果不对常数加以限制，动点的轨迹会是什么？分3种情况来看：①若2a=2c,则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线F1F2②若2a>2c,则轨迹是什么？此时轨迹不存在③若2a=0,则轨迹是什么？此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线F1F2对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a，当2a<

11、F

12、1F2

13、时，其轨迹是双曲线；当2a＝

14、F1F2

15、时，其轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点)；当2a>

16、F1F2

17、时，其轨迹不存在．当2a=0时,其轨迹是线段F1F2的垂直平分线。(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．F1、F2表示双曲线的左、右焦点，若点P满足

18、PF1

19、－

20、PF2

21、＝2a，则点P在右支上；若点P满足

22、PF2

23、－

24、PF1

25、＝2a，则点P在左支上．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”♦探讨建立平面直角坐标系的方案yyyyMyFO1OOF2xxxOxOx方案二方案一原则：

26、尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称、“简洁”)双曲线方程的推导1.建系：如图建立直角坐标系yFFMxOy，使x轴经过点，，12并且点O与线段FF中点重12合.FFx1O22.设点:设M（x,y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数=2a22223.列式:MF1MF22a即(xc)y(xc)y2a224.化简.2222(xc)y2a(xc)y222cxaa(xc)y22222222(ca)xay

27、a(ca)222令bca22xy1(a0,b0)22ab若建系时,焦点在y轴上呢?yyMMF2xOOFFx12F1x2y222yx221221abab(a0，b0)22看x,y前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上“焦点跟着正项走”三.双曲线两种标准方程的比较2222xyyx1(a0,b0)1(a0,b0)2222ababyyMMF2xF1OF2xOF1①方程用“－”号连接。22②分母是a,b,a0,b0但a,b大小不定。222③cab。22④如果x的系数是正的，则焦点在x轴上；如果y的系数是正的，

28、则焦点在y轴上。对双曲线标准方程的理解(1)只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a、b大小则不确定．(3)焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时

29、，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)或进行分类讨论．判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出a,b,c及焦点坐标。2222xyxy112142222222xyxy3141(m0,n0)42mn答案：题后反思：1a2,b2,c6(6,0).(6,0)先把非标准方程化成标准方程，2a2,b2,c2(2,0).(2,0)再判断焦点所在3a2,b2,c6(0,6).(0,6)的坐标轴。4am,bn,cmn(mn,0).(mn,

30、0)22xy双曲线方程为1916变式3：求经过点15的双曲(2,3),(,2)3线的标准方程.22分析：可设标准方程：mxny