第3课时 命题的证明

《第3课时 命题的证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.2命题与证明第3课时命题的证明做一做观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°（如图），但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得到360°.另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°.此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题.要确定这个命

2、题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.证明的每一步都必须要有根据.动脑筋证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.在分析出这一命题的条件和结论后，我们就可以按如下步骤进行：已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.证明：如图，∵∠BAF=∠2+∠3，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∴∠BAF+∠CBD+∠A

3、CE=2（∠1+∠2+∠3）（等式的性质）.∵∠1+∠2+∠3=180°（三角形内角和定理），∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.通过分析，找出证明的途径根据题意根据命题的条件和结论，结合图形证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：第一步第二步第三步写出证明的过程写出已知、求证画出图形例题例1已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证明：∵∠DAC=∠B+∠C(三角形外角定理)，∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式的性质）.又∵AE平分∠DAC(已知)，∴

4、∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）.∴∠DAE=∠B（等量代替）.∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）.例题例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.分析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况.如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，则∠A+∠B+∠C<180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不

5、正确.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？1.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.已知：b∥c，a⊥b．求证：a⊥c．请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？已知：b∥c，

6、a⊥b．求证：a⊥c．证明：∵a⊥b（已知），又∵b∥c（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.∴∠2=∠1=90º（等量代换）．∴∠1=90º（垂直的定义）．∴a⊥c（垂直的定义）．2.填空已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：EG∥FH．证明：∵∠1=∠2（已知）∠AEF=∠1（），∴∠AEF=∠2（）．∴AB∥CD（）．∴∠BEF=∠CFE（）．∵∠3=∠4（已知），∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3，即∠GEF=∠HFE（）．∴EG∥FH（）．对顶角相等等量代换同位角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等等式的性质内错角相等，

7、两直线平行谢谢！