圆周上Markov映射的逆极限空间

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1、0引言连续统是一般拓扑学的主要研究领域之一，而逆极限是生成连续统的重要手段早在上世纪60年代，人们发现映射的动力学性质与特定逆极限空间的拓扑结构有密切的联系，从而诱发了对动力系统与逆极限理论相互关系的深入研究，并得出了丰富的成果．Williams(1967)f13]指出，在～定条件下流形上的微分同胚F在其吸引子A上的限制拓扑共轭于某个有限图G上逐段单调映射，所产生的逆极限空间上的转移映射，．M．Barge和JMartin(19901f2]指出，对于有限图G上的每一个映射^存在爬3上的同胚，使得F在其吸引子上的限制与逆极限空间lim(G，f)上的转移映射，共轭．逆极限空间研究的主

2、要课题体现在两个方面：一是研究约束映射与逆极限空间的关系，二是研究并刻画逆极限空间的结构．MBarge和R．Roe(1990)f3]证明了圆周映射，混沌蕴涵(，，，)有不可分子连续统．M．Barge和B．Diamond(1994)[1]证明了逐段单调的图映射具有正的拓扑熵等价于其诱导的逆极限具有不可分子连续统．L．Block和J．Keesllng(1998)f41对线段的逆极限空间(J，，)上所有圊胚具有零熵的条件进行研究．指出当，为逐段单调映射且，周期点的周期之集有限时(，，，)上所有同胚具有零拓扑熵．叶向东(1998)f14]讨论了线段上一列连续映射的动力学性质与其逆极限的

3、拓扑结构间的关系并证明：一个可链体的约束映射具有广义马蹄的充要条件是此可链体含有不可分解子连续统吕杰，熊金城和叶向东(2000)f91证明对于图G上逐段单调映射，及其逆极限空间(G，，)而言，以下命题都是等价的：(1)(G，f)有不可分子连续统；(2)，具有正拓扑熵；(3)(G，f)是Suslinean连续统；(4)(G，f)上所有同胚的拓扑熵为零；(5)f只有有限个非平凡的极小集合；(6)f的回归点集上闭的；(7)f的每个u一极限点是回归点；(8)f的每个回归点具有有限轨道、这是关于逐段单调的零熵图映射及其诱导的逆极限的比较全面的结论．w．T．Ingram(2002)[7】对

4、线段上单一Markov映射诱导的逆极限空间进行了具体的刻画．较之刻画逆极限的结构更为基本的问题是鉴别两个逆极限空间是否同胚．事实上两个大不相同的映射可以生成同胚的逆极限空间．在线段的逆极限方面，w．TWatkings(1992)『121证明线段上n．帐篷映射和m一帐篷映射诱导同胚的逆极限空间当且仅当"，m具有相同的素因子．(【12]还对相4关的逆极限空间进行了具体刻画)Holte(2002)[6】}止明了线段上由两列关于固定分点的按下标Markov同型的m-Markov映射(具有限个水平区间的Markov映射)列生成同胚的逆极限．在图的逆极限方面，吕杰(1997)『81指出无周

5、期点的图映射的逆极限空间同胚于圆周．f从而其上的同胚具有零拓扑熵．)Raines(2001)【11】指出有限图上转折点都具有有限轨道的逐段单调映射所生成的逆极限在同胚的意义下决定于每个转折点的u一极限集．本文证明了圆周上两列关于两组固定分点的Markov映射在它们相同下标的两个映射总是关于两组分点的固定次序Markov同型的条件下产生同胚的逆极限．我们特别考虑了Markov映射把相邻分点之间的弧映满圆周(并环绕圆周若干次)或具有无穷个水平区间的情形．而这两种情形在f61，[111中是不被允许的．因此我们在圆周上推广了f61，f111的结沦．相关结论完全适用用于线段的情形51连续

6、统与逆极限空间本文中瓞，S1，z，N，z+分别表示实数集，单位圆周，整数集，非负整数集(即自然数集)和正整数集合．设，为一实数或实值函数，Ac豫．我们把集合{，+alaEA}简记为，+A．设x，y是两个拓扑空间用c(x)表示x上的连续映射空间，c(x，Y)表示从x到y的连续映射空间．设x为一非空集合，则idx表示x上的恒同映射．我们用P表示从R到s1的投射2H(COS27ra：，sin2rrx)．给定笛卡尔集n^∈Ax^我们用m表示从兀^；^x^到其第A个坐标空间x^的自然投射．设(，b)^∈A是一族拓扑空间．乘积空间兀^；^X^的拓扑是指以s={颤1(叭)I巩是x^中的开集，

7、AsA}为予基的拓扑．设X是一个度量空间．我们总用d表示x的度量．设xCX，0≠A，BcX，定义d(x，A)=d(A，X)=inf{d(x，a)1acA}，d(A：B)=inf{d(a，b)lacA，bcB}瓞上度量按通常定义；S1上度量定义为d(x，Y)=d(p_1(￡)，P“(g))n。>os1上度量定义为d((盈)晓o，(Y1)i≥o)=∑l>o2-id(xi，玑)定义1．0所谓连续统，即指非空紧致连通的度量空间若一个连续统能表示为它的两个真子连续统之并，则称这个连续统可分．所谓逆序列