参数估计与假设检验1

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1、*第三章参数估计与假设检验主要内容：过程参数的估计假设检验的基本思想均值检验总体方差检验知识点及其基本要求掌握参数的点估计和区间估计方法了解点估计的评价标准区分方差已知和方差未知时的估计方法差异掌握均值检验的方法理解假设检验的基本思想掌握总体方差检验的方法区分方差已知和方差未知时的检验方法重点：过程参数估计均值检验难点：总体方差检验点估计参数估计区间估计统计推断假设检验：均值间的比较标准偏差的比较构成比率的比较……第一节过程参数估计参数估计:从样本除非取构造某些适当的统计量来对总体的某些未知参数进行估计。分为点估计和区间估计

2、。一、参数的点估计当总体的分布形式已知，但有一个或多个参数未知时，如果通过随机抽样得到x的一个样本观察值（x1,x2,…xn），利用这组数据算得估计量的特点值，以此作为未知参数的估计值。常用的点估计方法：矩估计和极大似然估计。点估计的期望值等于被估计的总体参数。无偏性是对估计量的一个重要的、最常见的要求，其实际意义就是无系统误差。1、评价点估计的优劣标准根据不同的要求，评价点估计的标准主要有：无偏性、有效性、一致性、充分性。（1）无偏性定义：如果估计量满足，则证明：例1：设X1，X2，……，Xn为总体的样本，证明样本平均值及

3、样本方差s2分别是总体均值μ和总体方差σ2的无偏估计。（2)有效性定义3.2：设和都是θ的无偏估计，若样本量为n，的方差小于的方差，则称是比有效的估计量。如果在θ的一切无偏估计量中，的方差达到最小，则称为θ的有效估计量。要比较同一参数的两个无偏估计量的优劣，其标准自然应该是在样本量相同时，看哪一个估计量的取值较大地集中在参数θ的附近。即要求的方差越小越好。有效估计量就是具有最小方差的无偏估计量。例2：设X1，X2,…，Xn为总体X的样本，比较总体均值μ的两个估计量的有效性。解：当样本量时n＝1，；而当n>1时，显然有，故比更

4、有效。例3：设总体X的期望E（X）和方差D（X）都存在，X1、X2是来自X的样本，下列估计中哪个较好，哪个较差。(3)一致性定义3.3：如果当时，依概率收敛于θ，即任给，，则称为参数θ的一致估计。即：任给ε>02.点估计的计算方法矩法估计是求点估计最古老的方法，就是用样本的数字特征来估计与之相应的总体数字特征。常用的是用样本平均值来估计总体的平均值μ；用样本的方差s2来估计总体的方差σ2。（1）矩法估计样本的k阶原点矩为：总体的k阶原点矩为：样本的k阶中心矩为：总体的k阶中心矩为：其中k为正整数。(1)矩估计法例4：已知晶体

5、管寿命服从正态分布，现从中随机抽取一个样本，测得的数据为1322，1324，1321，1325，1320，1326。求总体参数μ和σ2的矩估计。解:样本观测值代入上述公式中，得相应的估计值为：例5：某工厂生产了一批轴承，为了解该批轴承的长度，从中抽取10件进行测量，得出如下数据（单位：mm）：501.2，498.9，499.2，500.7，501.5，501.3，498.4，502.1，502.3，501.4问：该天生产的轴承的平均长度以及长度的方差大约是多少？解：因此，可将500.7和1.893作为该批轴承的平均长度和长度

6、方差的估计值。设（X1,X2,…Xn）是来自密度为的总体的一个简单随机样本，则（X1,X2,…Xn）的联合密度函数为将样本观测值x1，x2，…,xn视为常数，待估参数θ视为变量，则这个联合密度函数是θ的似然函数，反映了样本和总体参数之间的关系。(2)极大似然估计法定义3.4：设总体的分布形式为已知，为X的一组样本观测值，如果处达到最大值，则称的最大似然估计。最大似然估计就是将似然函数L的最大值点作为θ的估计值。解方程式可得最大似然估计。和上述方程组的解就是参数的最大似然估计量。可直接通过似然方程求得。如果由于L和lnL同时达

7、到最大值，故只需求lnL的最大值点即可。所以，可直接通过似然方程求得。，则通过求下列似然方程组：如果θ是一个向量，即，则通过求下列似然方程组：方程组的解就是参数的最大似然估计量。例6：设（x1,x2,…，xn）是正态分布的一个样本，求总体参数μ和σ2的极大似然估计。解:则得令已知为X的一组样本观测值，求参数λ的最大似然估计量。例7：设总体服从指数分布解：似然函数为令得得λ的最大似然估计值为二、参数的区间估计1、区间估计的概念设θ是总体X的一个未知参数，从该总体中抽取样本，参数的区间估计是要找两个统计量，对于给定的α（1<α<

8、1)，满足则（，）叫做θ的置信度为1－α的置信区间。对于给定的显著性水平α,若由样本观测值x1,x2,…xn确定的统计量（x1,x2,…，xn)满足：则称置信区间[，∞]为θ的置信度为1-α的单侧置信区间，是单侧置信下限。满足，称为单侧置信上限：1．方差已知情况的正态分布均值的置信区间设X