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1、3.4微分与微分技术二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分在近似计算中的应用一、微分的概念边长由3.4.1微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为S,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到其定义3.4.1的微分,若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即在点可微,一、微分的定义注意,定理3.4.1函数证:“必要性”已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即重要结论：“充分性”已知即在点的可导,则说明:
2、时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当1.2若函数f(x)在区间I内点任一点都可导,则在I内任意点x的微分记为规定自变量x的微分为自变量的改变量,即则有从而有即,函数微分与自变量微分之商等于函数的导数.微分的几何意义当很小时,切线纵坐标的增量二、几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数(一)基本初等函数的微分公式(见教材P.111)(二)微分运算法则:例3.4.1求解:令u=2x+1，则例3.4.2求解:例3.4.3求解:3.4.2隐函数的微分法若由方程可确定y是x的
3、函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)例3.4.4求由方程的导数。解法1解之得确定的隐函数解法2方程两边对x求导方程两边求微分得解之得例3.4.5求由方程确定的隐函数的二阶导数。解方程两端对x求导得（3.4.2）解之得将方程（3.4.2）两端再对x求导，注意到也是x的函数，得（3.4.3）将（3.4.3）代入上式，得补例求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即例3.4.6求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导说明:1)对幂指函数可用对数求导法
4、求导:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:2)有些显函数用对数求导法求导很方便例如,两边取对数两边对x求导又如,对x求导两边取对数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是y的函数)关系,3.4.3由参数方程确定的函数的导数若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得例3.4.8已知椭圆的参数方程为求椭圆在相应点处的切线方程。解当时，椭圆上的相应点M0的坐标是曲线在M0的切线斜率为代入点斜式方程，即例3.4.9计算由摆线的参数方程（图见教材P.117）所确定的函数的二阶导数。即得椭圆在点M0处的切线方程解xyopa2
5、pata转化内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式四、微分在近似计算中的应用(略)当很小时,使用原则:得近似等式:特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差称为a的相对误差若称为测量A的绝对误差限称为测量A的相对误差限误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可导可微2.微
6、分运算法则微分形式不变性:(u是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差
