《有理函数积分》PPT课件(I)

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1、上　课2021/7/161微积分--有理函数积分凑微分法(第一换元)第二换元积分法分部积分法规律:被积函数仅含对数或反三角函数,复习:直接积分法复合函数微分法两类换元积分法函数乘积微分法分部积分法直接用公式;被积函数为两类不同函数之积,u的选择:“三多选多”;“指多选多”;“代对选对”;“代反选反”;“指弦任选”(积分重现).例假分式化为整式与真分式之和真分式化为最简分式之和今天专门探讨这类有理函数积分的一般方法.2021/7/163微积分--有理函数积分两个多项式的商表示的函数.5.5有理函数的积分一、有理函数的定义:假定分子、分母无公因式真分式：假分式：利

2、用多项式除法,假分式可化成整式与真分式之和.2021/7/164微积分--有理函数积分例(难点)真分式——可化为部分分式之和二、化真分式为部分分式之和1.部分分式——指如下四种“最简真分式”：2021/7/165微积分--有理函数积分(1)真分式的分母中有因式，则分解后为2.真分式化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为(2)分母中有因式则分解后为特殊地：分解后为实系数多项式均可唯一分解成一次因式和二次质因式之积63.部分分式的系数确定例1比较系数法赋值法2021/7/167微积分--有理函数积分取x＝0取x＝1取x＝2,并将A、C值代入(1)例22021

3、/7/168微积分--有理函数积分例3即2021/7/169微积分--有理函数积分有理函数化为整式与部分分式之和后，只出现三类积分：对积分(2)：三、有理函数的积分一、有理函数定义二、化真分式为部分分式之和(1)多项式;2021/7/1610微积分--有理函数积分记作a2讨论积分(3)：(1)n＝1记作b2021/7/16a、b记号同前,再令(上节递推公式)(2)n>1综上，(1)，(2)，(3)三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数能用初等函数表示，且积分结果只含有有理分式、对数函数、反正切函数，不含其它类型的函数.注尽管被积函数只要连

4、续就一定存在原函数;初等函数在其定义区间连续.但有的初等函数的原函数却不是初等函数,如等不能用初等函数表示.通常我们说这些积分是“积不出来”的。2021/7/1613微积分--有理函数积分例4求积分解（分解见前例2.）2021/7/1614微积分--有理函数积分例5求积分解(分解见前例3)2021/7/1615微积分--有理函数积分例6求积分解P159例13(令x=tant)或：上节递推公式例7求积分解令2021/7/1617微积分--有理函数积分2021/7/1618微积分--有理函数积分2.将真分式分解成部分分式之和.1.将假分式化成多项式和真分式之和.3

5、.逐项积分.注上述有理函数的积分方法中，确定待定系数比较麻烦，故应优先选择其它简便方法。例:P172:5(5)小结——有理函数的积分:2.积分方法——万能代换四、三角函数有理式的积分(补充)1.三角函数有理式：由三角函数及常数经有限次四则运算得到的函数。可记为例——关于t的有理函数的积分注意：上面的方法对三角函数有理式的积分均可积出，但应优先考虑简便解法，如凑微分法练习：2021/7/1622微积分--有理函数积分2021/7/1623微积分--有理函数积分作业：P1725(2)(4)(5)(7)2021/7/1624微积分--有理函数积分下课2021/7/1

6、625微积分--有理函数积分2021/7/1626微积分--有理函数积分2021/7/1627微积分--有理函数积分例返回返回