《有理函数积分等》PPT课件

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1、§4.3内容回顾分部积分公式1.使用原则:易凑出,易积分2.使用经验:“反对幂指弦”,前u后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.补充多次分部积分的快速计算法:(u是保留部分,v是凑得部分)多次分部积分快速计算表格:特别:当u为n次多项式时,计算大为简便.注:是的原函数例11.求解:取说明:此法特别适用于如下类型的积分:例12.求解:令则=(前面已讲过)备用题.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则1.方法2(先换元,再分部)令则故基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例§4.4有理函数的积

2、分本节内容:第四章一、有理函数的积分1.有理函数的定义时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之和函数称为有理函数.其中分子分母分别为n次和m次多项式,且总假定无公因式.(其形式由分母的因子决定)2.多项式分解定理其中3.真分式分解成部分分式的和(n

3、因式分解,且有时无法解决.(有时很繁)例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法(2)用赋值法故通分得,得,令得,令得,(3)混合法原式=两边×x，再取极限（x→∞）得,再令x=0得,(4)比较系数法原式=通分后的分子恒等,比较系数得,解得,例2.求解:已知例3.求解:原式例4.求解:说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例5.求解:原式例6.求解:原式注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法解:第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第

4、三步分项积分.此解法较繁!二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换法t的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则代入原积分得,转化为例7.求解:令则例8.求解:说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换例9.求解:原式2.简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:令例10.求解:令则原式例11.求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令例12.求解:令则原式(－1)+1原式＝令例13P218(24)内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及

5、部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.2.原式作业P2183,6,8,9,13,15,17,18,20,21三角函数的积分要重视…（因为…）令…此题有多种解法．的积分备用题1令（不妨设t＞０）还原…2.时，得相同的结果。可作不同的三角代换，但很麻烦。解:解:令3.+1原式=