函数2-2函数的单调性与最值

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1、重点难点重点：①函数单调性的定义．②函数的最大(小)值．难点：①函数单调性的证明．②求复合函数单调区间．知识归纳一、单调性定义1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，若对于任意的x1，x2∈D，当x1f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数．2．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明．(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1

2、和等)；③依据差式的符号确定其增减性．(2)设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．二、单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的

3、单调性相反．三、函数单调性的应用有：(1)比较函数值或自变量值的大小．(2)求某些函数的值域或最值．(3)解证不等式．(4)作函数图象．四、函数的最大(小)值：1．定义：一般地，设函数y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存在实数M满足：(1)对任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；(2)存在x0∈Ⅰ使得f(x0)＝M.称M是函数y＝f(x)的最大(或最小)值．2．求法：(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．误区警示1．对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点(1)函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)

4、在区间A与B上都是增(或减)函数，在A∪B上不一定单调．(2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．(3)由于定义都是充要性命题，因此若f(x)是增(或减)函数，则f(x1)x2)．2．在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域一、利用复合函数的单调性解题对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施

5、该法则时首先应考虑函数的定义域.t＝g(x)y＝f(t)y＝f[g(x)]增增增增减减减增减减减增证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．分析：证明函数的单调性可以用定义证明，也可以用导数证明．本例证明f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，用导数证，只须证明f′(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立，用定义证，由于f(x)有两个不同类型的项，作差后可分别处理讨论符号．证明：方法1：任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x10，ax2－x1>1且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，答案：C答案：(－1,

6、1)A．b0，则f(x)的定义域是________；(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．(2)首先0

7、1、x2且x10，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．又∵x>0时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，即f(x2)0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R