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《高数辅导之专题八闭区间上连续函数的性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题八基础知识闭区间上连续函数的几人定理：定理1（最值定理）若函数=/（X）在闭区间［⑦方］上连续，则（1）在［⑦甸上至少存在一点使得对于任意xe［a,b］,恒有/（^）>/（%）o（2）在也上］上至少存在一•点乞，使得对于任意xe［a,b］,有/（§2）5/（兀）。/（$）和/（金）为函数y=/（x）在闭区间0,®上的授大值和授小值。定理2（冇界定理）闭区间上的连续函数必冇界。定理3（介值定理）若/（兀）在⑺"］上连续，则它在⑺"）内能取得介于其最小值和最大值之间的任何数。定理4（零点定理）若/（x）在［a,b］上连续，H./（d）・/（b）v0,则至少存在一点cw（a,b
2、）,使得/（c）=0o例题1.设函数/（x）在（⑦方）内连续，a0,r2>0,试证在（a,b）内至少存在一点c,使得z1/（x1）+z2/（x2）=（r1+/2）/（c）o证明：令了="（州）+%2）,下面分两种情形说明：人+》2（1）/（兀1）=/（£）时，T=/（兀］）=/（兀2），川取c=X］（或兀2）w（a,b）,得证。（2）/（西）工/（兀2）时，不妨假设f（x｛）0,t2>0）故T二/［/（Xj+D/O?）!］/（兀2）+/2/（%2）"人+『2斤+4=4+'"心2)=心)
3、人+(2厂二人/(州)+/2/(兀2)>人/(兀])+(2/(西)/]+》2厶+/2亦即f^})4、a,h]f使得
5、/(y)
6、<^
7、/(x)
8、，试证至少存在一点§w[a,b],使得/(^)=0o证明：(反证法)假设对于任意的xe[a,b]f都有/(QhO,则由介值定理知函数/(兀)在[a,创上恒为正或怛为负(如杲存在xpx2g[a.b],/(兀JvO,/(x2)>0,则由介值定理知存在〃(介于坷与兀2乙间)，使得/(〃)=0,得出矛盾)。下面分两种情形说明：(1)若函数兀劝在[讪上恒为正，由最值定理知存在7]e[a,b]f使得/(x)>f(7j),/(〃)为函数/(力在[a,甸上的最小值，且/(/；)>0o对于〃w[a,b],fye[a,b],都有I/(y)1=/(.y)
9、>/(/；)=1/(〃)I，即不存在yeg,使得
10、f(y)
11、<£
12、/•(〃)
13、,与题设条件矛盾。(1)若函数/(兀)在[⑦切上恒为负，同情形(1)类似，同样可以得出矛盾。综上所述，假设不成立，亦即至少存在一点使得/(^)=002.设/(x)在(一8,+8)上连续，lim/⑴=0,求证：存在§w(-x,+x),使得XT8证明:令F(x)=f(x)+x,则limF(x)=lim[/(x)+x]XT-8大一>_8r/(x)+x=lim——XT-sX=limx・[4^+l]XT_8JQ=limx-lim[4^+l]XT-<»X—>-<»兀=—OOlimF(x)=lim[/(x)+x]
14、XT+8XT+oor/(X)+X=lim兀・——XT+8兀r,/(x)=limx・[—+1]XT+oo兀=limx•lim+1],v—>+ooXT+8X由/(X)在(-00,4-00)上连续知F⑴在(-汽+oo)上亦连续，从而由介值定理知存在兵(―汽+oo),使得=+&：本题最终要得到的是存在E(-00,4-00),使得/(§)+§=0,故首先构造新函数F(兀)=/(X)+X,xe(-oo^+oo),继而讨论新函数F{x)在其定义域(-oo,+oo)的两个端点-co和+oo处的符号问题(给出的题设条件只涉及到8)。3.设/(对在(一oo,+oo)上连续，f(f(x))=x,求
15、证：存在R,使得f©=§。证明：令F(x)=/(X)-X,在R中取一点兀=1,则F(l)=/(1)-1W(l))=/(/(l))-/(l)=1-/(1)-(/(D-D=-F(l)下血分两种情形说明：(1)若/(1)-1=0,可取§=1,得证。(2)若/(I)—1H0,则F(l)•F(/(l))v0,由f(x)在(-oo,+oo)上连续知F(x)在(_oo,+oo)上亦连续，从而F(x)在［!,/(!)］(或［/(1),1］)上连续。由介值定理知存在纟(介于1和/⑴之间),使得F(^)=0,亦即/(§)=
