八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 2 两数和（差）的平方学案 （新版）华东师大版

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1、2　两数和(差)的平方课前知识管理1、完全平方公式有两个：（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为（a±b）2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.　　几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为（a+b）2，也可以表示为S＝SⅠ+SⅡ+SⅢ+SⅣ，同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2.2、完全平

2、方公式的特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.　　3、在使用完全平方公式时应注意问题：（1）千万不要发生类似（a±b）2=a2±b2的错误；（2）不要与公式（ab）2=a2b2混淆；（3）切勿把“乘积项”2ab中的2漏掉；（4）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，

3、再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则运用乘法法则进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中的符号：例1、运用完全平方公式计算：　【解题思路】本例改变了公式中的符号，处理方法之一：把两式分别变形为再用公式计算（反思得：）；方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为后直接用公式计算.【解】=.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确定“两数”即“a”和“b”.对应练习：知识点2：改变公式中的项数例2、计算：【解题思路】完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本

4、例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， 可先变形为或或者，再进行计算．【解】==.【方法归纳】运用整体思想可以使计算更为简便，快捷.对应练习：（2a－b＋4）2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算： （1）；（2）.【解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】（1）=；（2）=.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件.对应练习：计算：知识点4：利用公式简便运算 例4：计算：

5、9992        【解题思路】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】998001.【方法归纳】有些数计算时可拆成两数（式）的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公式可使运算简捷、快速.对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用 例5、计算：【解题思路】本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式的右边，不妨把公式倒过来用.【解】=.【方法归纳】解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．对应练习：

6、化简知识点6：公式的变形例6、已知实数a、b满足.求下列各式的值：（1）；       （2）【解题思路】此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径.【解】（1）=；（2）=6.【方法归纳】  ； 熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键.对应练习：已知：x＋y＝－1，x2＋y2＝5，求xy的值.知识点7：乘法公式的综合应用例7、计算：　　【解题思路】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。故可考虑把相同的项和互为

7、相反数的项分别结合构造成平方差公式计算后，再运用完全平方公式等计算.【解】.【方法归纳】灵活运用公式主要是指既要熟练地正用公式，又要掌握公式的逆用，还要根据题目特点善于对公式进行变式使用.在解题中充分体现应用公式的思维灵活性，综合并灵活地解决有关的不同类型的问题.对应练习：易错警示例8、(x+1)2.错解：(x+1)2=x2+1.错解分析：错解中漏掉了加上它们积的2倍，(x+1)2≠x2+1，不能与积的幂(ab)n=anbn混淆．正解：(x+1)2=x2+2x+1例9、(x2-y2)(x2-y2).错解：(x2-y2)(x2-y2)=x4-y4错解分