巧设方程避免分类讨论

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1、巧设方程避免分类讨论舒云水求圆锥曲线方程是一类基本问题，待定系数法是常用方法之一，对一些焦点位置不确定的题目常常需要分类讨论求解﹒椭圆方程（或双曲线方程）中的、和抛物线方程中的都有几何意义，若设更具有一般性的参数、、等，可避免分类讨论，事半功倍，提高解题效率﹒下面举例说明﹒例1求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，的椭圆的标准方程﹒分析：本题焦点位置不确定，可分焦点在轴、焦点在轴两种情况分类求解﹒事实上，不论焦点在轴上还是在轴上，椭圆方程都可化为的形式﹒本题可直接设椭圆方程为的形式，不但避免分类讨论还可简化运算﹒解：设所求椭圆的方程为﹒依题意有，解得﹒所以所求椭圆的方程为，其标

2、准方程为﹒例2与椭圆有相同焦点的椭圆方程为，与双曲线有相同渐近线的双曲线系方程为；最后，由题设中的条件找到“式”中选定系数的等量关系，通过解方程得到量的值﹒例3求与双曲线有公共的渐近线，且经过的双曲线方程﹒分析：本题的一般解法是对双曲线的焦点在轴或在轴上进行分类讨论﹒其实，无论焦点在哪条坐标轴上，与已知双曲线共渐近线的双曲线方程都可写成的形式，不需对焦点位置分类讨论﹒解：设所求双曲线方程为，将点坐标代入所设双曲线方程，求得，故所求双曲线方程为﹒例4已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线与直线相交于两点、，且，求抛物线方程﹒分析：本题只知道焦点在轴上，开口方向不确定，常规思路是分抛物线开

3、口向左和向右两种情况分类讨论求解﹒事实上，不论抛物线开口方向是向左还是向右，抛物线方程都是的形式﹒因此可设抛物线方程为，和直线方程联立，由弦长公式求得参数的值﹒这样巧设参数避免了分类讨论，事半功倍﹒解：设抛物线方程为，则直线与抛物线的交点、是方程组的解，消去整理得：﹒∴或﹒由韦达定理得：，﹒由题意得：﹒即﹒解得或﹒故符合题意的抛物线方程为或﹒