高考专题20 坐标系与参数方程（命题猜想）高考数学（理）---精校解析Word版

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1、高考专题数学精练【命题热点突破一】极坐标系与简单曲线的极坐标方程例1、（2018年全国I卷理数）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】(1）．（2）的方程为．【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只

2、有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．【变式探究】【2017天津，理11】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.【答案】2【解析】直线为，圆为，因为，所以有两个交点【变式探究】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.【答案】2【解析】直线过圆的圆心，因此【变式探究】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐

3、标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程是θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【特别提醒】根据直角坐标化为极坐标的公式，可以把直线、曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，反之亦然．使用直线、曲线的直角坐标方程和极坐标方程解题各有利弊，要根据情况灵活选取．【变式探究】在直角坐标系xOy中，曲线C：(t为参数)．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，l与C相交于A，B两点．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；(2)设线段AB的中点为M，求点M的极

4、坐标．解：(1)直线l的直角坐标方程为y＝x，则直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的普通方程为y＝x2－6.(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将代入y＝x2－6，得t2－2t－24＝0，∴Δ＝108>0，t1＋t2＝2，∴＝，即点M所对应的参数为，∴点M的直角坐标为(，)，【变式探究】已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(4，)，曲线C的极坐标方程为ρ2＋4ρsinθ＝4.(1)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；(2)若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：(t为参数)距离的最大值．解：(1)x＝ρcosθ＝6，y

5、＝ρsinθ＝2，∴点P的直角坐标为(6，2)．由ρ2＋4ρsinθ＝4得x2＋y2＋4y＝4，即x2＋(y＋2)2＝16，∴曲线C的普通方程为x2＋(y＋2)2＝16.(2)由l：可得直线l的普通方程为x－y－5＝0，由曲线C的普通方程x2＋(y＋2)2＝16可设点Q(4cosθ，4sinθ－2)，∴则点M的坐标为(2cosθ＋3，2sinθ)，∴点M到直线l的距离d＝＝，当cos(θ＋)＝－1时，d取得最大值2＋，∴点M到直线l距离的最大值为2＋.【特别提醒】在极坐标与参数方程综合的试题中，一个基本的思路是把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，然后使用我们熟悉的平面

6、解析几何知识解决问题．【变式探究】以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知圆C的参数方程是(φ为参数)，直线l的极坐标方程是2ρcosθ＋ρsinθ＝6.(1)求圆C的极坐标方程；(2)过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点Q，求PQ的最大值与最小值．【高考真题解读】1.（2018年全国I卷理数）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】(1）．（2）的方程为

7、．【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没