大学高等数学下册竞赛试卷与答案

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1、试卷编号命题人：试卷分类（A卷或B卷）片高等数学竞赛（第二组）试卷专业：班级：学号:1姓名:题号—二三五六七八九十总分得分填空题（每小题3分，共15分）一、得分i.lim(l+2'+3J±=■2.求fjl一严(1¥=3.设/©))存在，求lim/(勺+山+(")“2+exsinxlim+5(1+wx4.函数fo,y）在点a。,儿）处连续，且两个偏导数人（兀0,y0），A（^o,儿）存在是/（x,y）在该t:点可微的（）.:A充分条件，但不是必要条件B必要条件，但不是充分条件)一/(勺)=—0Ax4.设/⑴在x=2处连

2、续,且lim加=3,则广(2)=XT2X-2得分1.当兀t0时S选择题（每小题3分，共15分）（将正确选项的字母填入括号内）卜•列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（Ax2B1-cosxCx-tanxDln(l+x)•2.)A1B-13.设有三非零向量弘肛A0B-1C0D不存在.若Q・b=O,axe=0f贝历.C1D3C充分必要条件D既不是充分条件，也不是必要条件/(x,y)dx；施[i(x，y)dx.2.'/(x,y)dy=(C[dy「/d，)')dx；，三.计算题得分(每小题8分，共24分)(1+x)sinx的间断

3、点，并判别其类型.12.设y=es,nvarctan]x2-1，求y'.t3.计算二重积分/=(x2+xyex~+y2)dxdy,其中:(1)£＞为圆域x2+/＜i；(2)£＞由直线y=x,y=-l,x=l围成.1.一-张1.4m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8m,问观察者在距墙多远处看图才最淸楚（视角0最大）？ttt：2.计算半径为a的球的表面积.3.计算三重积分^xdxdydz,其中Q为三个坐标面及平面x+2y^Z=i所围成的闭区域1•证明。<吨时,成立不等式乎#•2.设fO）在［a,b］上连续

4、，在（a,b）内可导，且00+x->0-x=Q为第一•类跳跃间断点»2.解yf=(严"•c

5、osx2•2x)arctanVx2-1+严"(-^——t•2x)sina2tx2lx2-=2xcosx2eS}nvarctanyjx2-1,3.解：(1)利用对称性.I=j£x2dxdy+

6、£x>?^v+vdxdyt:专几(『+b)d兀dy+O⑵积分域如图：添加辅助线尸-兀，将Q分为几2,利用对称性，得dxdy+JLxyex+ydxdy+JJxyex+ydxdyx2dxj'dy+0+0'四.应用题,x=2.4g(0,+o))贝I」IT.解：设观察者与墙的距离为，—3.2

7、_—1.4Q?—5.76):~%2+3.2

8、2+x2+1.82~(x2+3.22)(x2+1.82)9«令&'=0,得驻点x=2.4e(0,+oo)8根据问题的实际意义，观察者最佳站位存在，驻点乂唯一，因此观察者站在距离墙2.4:m处看图最清楚.t*2＞：:方法1利用球坐标方程.:设球面方程为za,球面面积元素为«7•tdA=a^sin(p((p(，方法2利用直角坐标方程.0

9、)在兰处左连续,22因此/(x)>/(-)=0,从而xe(0,-]o广(〃)277‘2.证：欲证以①=以力,即要证八?⑺1a+b2〃-er因f(X)在［Q,b］上满足拉氏中值沱理条件，故冇又因/（X）及F在［d,切上满足柯西定理条件，故有Mbsb2-a2将①代入②，〃W)②2〃化简得广©=罕纤'(〃),§,77g(a,b)o2?7