2019高中数学第3章数系的扩充与复数3.1.2复数的概念学案新人教B版选修2

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1、3.1.2　复数的概念1．了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程：自然数集(N)―→整数集(Z)―→有理数集(Q)―→实数集(R)―→复数集(C)．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念，例如：虚数单位、复数、虚数、纯虚数等，掌握复数相等的充要条件．1．实数系实数就是小数，它包括____________________________和________________________．实数的性质有：①实数对四则运算是封闭的，即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数；②0与1的性质为0＋a＝a＋0＝a，1·a＝a·1＝a；③加法和乘法都适合交换律、结合律，乘法对加法满足

2、分配律．实数系和数轴上的点可以建立________关系．【做一做1】数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为________________________．2．虚数单位的性质i2＝______.显然i是－1的一个平方根，即i是方程x2＝－1的一个解．【做一做2】关于x的方程x2＋1＝0的解是(　　)．A．1B．iC．±iD．无解3．复数的概念(1)设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做______，复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的______，b叫做复数z的______，i称作虚数单位．当b＝0

3、时，复数就成为实数；除了实数以外的数，即当b≠0时，a＋bi叫做______．而当b≠0且a＝0时，bi叫做______．(2)全体复数所构成的集合叫做______．复数集通常用大写字母C表示，即C＝{z

4、z＝a＋bi，a∈R，b∈R}．显然，实数集R是复数集C的______，即RC.【做一做3－1】设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下面结论正确的是(　　)．A．A∪B＝CB．∁UA＝BC．A∩∁UB＝D．B∪∁UB＝C【做一做3－2】若z＝a＋bi(a，b∈R)，则下列结论中正确的是(　　)．A．若a＝0，则z是纯虚数B．若b＝0，则z是实数C．若a＋(b－2

5、)i＝5＋3i，则a＝5，b＝2iD．z的平方不可能为－14．复数相等如果两个复数a＋bi与c＋di的实部与虚部分别对应相等，我们就说这两个复数______，记作a＋bi＝c＋di.这就是说，如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di____________；a＋bi＝0____________.【做一做4－1】实数x，y满足方程(x＋y)＋(2x－y)i＝5＋4i，则x＝________，y＝________.【做一做4－2】若复数(m2－5m－6)＋(m2＋4m＋3)i等于零，则实数m的值是(　　)．A．－3或－1B．6或－1C．－3D．－1如何理解“两个复数(不全为实数)只能

6、说相等或不相等，不能比较大小”？剖析：(1)根据复数相等的定义，知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.(2)若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必都是实数(即虚部均为0)．(3)若两个复数不全是实数，则不能比较大小．“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质：①对于任意实数a，b来说，a＜b，a＝b，b＜a这三种情况有且只有一种成立；②若a＜b，b＜c，则a＜c；③若a＜b，则a＋c＜b＋c；④若a＜b，c＞0，则ac＜bc.题型一复数的分类【例题1】

7、实数k为何值时，复数(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i分别是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？分析：根据定义求解．题型二复数相等【例题2】已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.分析：因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值．反思：一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数．复数相等是实现复数向实数转化的桥梁．题型三复数与实数之间的关系【例题3】已知z1＝m

8、2－(m2－3m)i，z2＝(m2－4m＋3)i＋10，(m∈R)若z1＜z2，求实数m的取值范围．分析：由z1＜z2，可知z1，z2∈R，故虚部为0.反思：两个复数，只有当它们全是实数时才能比较大小．题型四易错辨析易错点：本节常出现的错误是混淆复数中的有关概念，忽视复数集与实数集中有关性质的不同而导致做题错误，避免错误发生的关键是弄清虚数、纯虚数、实数、复数相等等有关概念的区别与联系．【例题4】下列命题中：①两个复数不