线性代数课件 第1章 1 4.ppt

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1、§1.4行列式展开定理一、余子式与代数余子式二、行列式展开定理第一章行列式三、小结一、余子式与代数余子式定义1在n阶行列式中,将元素所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原来的相对位置构成的n-1阶行列式，称为元素的余子式，记作.令,称是的代数余子式.例1求行列式中的元素的余子式和代数余子式.解引理在n阶行列式D中，如果第i行的元素仅其余的为零,则在n阶行列式的定义中是把行列式按第一行的元素展开的,但实际上行列式可以按任意一行(列)元素展开,下面介绍行列式按行(列)展开定理.二、行列式展开定理定理1n阶行列式等于它的任意一行(列)的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即或证明类似

2、地，可证明该定理叫做行列式按行（列）展开定理，也称为行列式的降阶展开式.利用这一定理再结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.推论n阶行列式D的任意一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证明把行列式D的第s行元素换为第行的对应元素,得到新的行列式，中有两行元素完全相同，因此,把按第s行展开，得=类似可证例2已知,求解法1因为与的第1列元素的代数余子式相同,所以将按第1列展开可得解法2因为的第3列元素与的第1列元素的代数余子式乘积之和为0,即所以注意在计算行列式时往往不急于展开计算,通常总是根据行列式的性质尽量把它的其中一个或一行中的更多元素变成零，然后

3、对这一行(列)展开再加以计算.例3计算解例4计算行列式解例5计算行列式解=例6证明范德蒙德（Vandermonde）行列式证明用数学归纳法当n=2时，有即当n=2时结论成立.假设对于n-1阶范德蒙德行列式时成立，要证对n阶范德蒙德行列式,结论也成立.为此，设法把降阶；从第n行开始，后行减去倍，有前行的上式(n-1)是阶范德蒙德行列式计算n阶行列式,有时要用到数学归纳法,但是归纳法的主要步骤是不能省略的.余子式和代数余子式的定义。2.行列式按行（列）展开定理。3.范德蒙德行列式。三、小结