线性代数课件 第4章 4 4.ppt

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1、§4.4实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的性质二、用正交矩阵使实对称矩阵对第四章特征值与特征向量角化的方法三、小结一、实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值都是实数.证明设为阶实对称矩阵，则有设为的任一特征值，为的属于特征值的特征向量，即两端取共轭，有其中故有两端取转置，得两端右乘，得（2）（1）式两端左乘，得（3）（2）与（3）相减，得由于，故，于是有即，则为实数.定理2实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.证明设为实对称矩阵，是的两个不同的特征值，是相应的特征向量，于是由于为实对称矩阵，故于是即而，故，即与

2、正交.例如，为实对称矩阵，其中为属于特征值的特征向量；为属于特征值的特征向量，显然即与正交.定理3设为实对称矩阵的重的特征值，则矩阵的秩,从而恰好有个属于特征值的线性无关的特征向量.解由于为实对称矩阵,所以必可以对角化.故的特征值为例1试将矩阵对角化得基础解系为对于，求解齐次线性方程组对于，求解齐次线性方程组得基础解系为取有定理4设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得其中为的特征值.二、用正交矩阵使实对称矩阵对角化的方法用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤:（1）求出特征方程的全部实特征值；（2）对每一个重的特征值，解

3、齐次线性方程组，得到个线性无关的特征向量；阵的列向量，则为所求正交矩阵；（5）为对角矩阵，其主对角线上的元素为A的全部特征值，它的排列顺序与中正交单位向量的排列顺序相对应.（3）利用施密特正交化方法，把属于的个线性无关的特征向量正交化，再单位化；（4）将总共得到的个单位正交特征向量作为矩例2用正交矩阵将例1中的矩阵对角化.解在例1中已经求出矩阵的特征值为，对应的特征向量为利用施密特正交化方法将与正交化，得再单位化，得将单位化，得以单位正交向量为列得正交矩阵使得1.实对称矩阵的性质（1）特征值必为实数；（2）属于不同特

4、征值的特征向量正交；（3）重特征值恰有个线性无关的特征向量；（4）可用正交矩阵对角化.2.用正交矩阵使实对称矩阵对角化的方法小结1.预备知识2.特征值与特征向量本章小结(1)特征值的定义与求法；(2)特征向量的定义与求法；(3)特征值与特征向量的性质.属于不同特征值的特征向量线性无关;重特征值至多有个线性无关的特征向量;3.相似矩阵(1)相似矩阵的定义；(2)相似矩阵的性质；(3)矩阵可相似对角化的条件:有个线性无关的特征向量（充要条件）；有个不同的特征值（充分条件）；（充要条件）是实对称矩阵.4.实对称矩阵的性质（

5、1）特征值必为实数；（2）属于不同特征值的特征向量正交；（3）重特征值恰有个线性无关的特征向量；（4）可用正交矩阵对角化.