线性代数课件 第4章 4 2.ppt

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1、§4.2特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念三、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的求法第四章特征值与特征向量四、小结一、特征值与特征向量的概念定义1设A是n阶矩阵，如果存在非零向量和数使得关系式（1）成立，则称为A的特征值，非零向量为矩阵A的属于特征值的特征向量.将（1）式改写为其中容易看出，为齐次线性方程组的非零解，而方程组（2）有非零解的充要条件是（2）若记n阶矩阵，则定义2称矩阵为A的特征矩阵,称的n次多项式为的特征多项；称以为未知元的n的特征方程.为式，记为次方程定义3若为特征方程的重根，称为的重特征值.二、特征值与特征

2、向量的求法求n阶矩阵的特征值和特征向量的方法（2）求特征方程的根，由此得到的特征值（共n个，这其中可能有重复的根，也可能有复数根）；（1）写出矩阵的特征多项式；不全为零.（3）对于每一个特征值，求解齐次线性方程组的基础解系，从而得到属于特征值的特征向量.设的一个基础解系为，则矩阵的属于特征值的全部特征向量为其中(1)由求解过程可以注意到，每个特征向量只能注(2)求特征值就是求一元n次方程的根；求特征向属于唯一的特征值，而许多特征向量可以属于相同的特征值.量就是求解相应的齐次线性方程组的非零解.例1求矩阵的特征值与特征向量.的特征多项式为的特征值

3、为解所以解齐次线性方程组，一个基础解系为于是，属于的全部特征向量为（）.例2求矩阵的特征值与特征向量.的特征多项式为所以的特征值为解对于，求解齐次线性方程组一个基础解系为于是，属于的全部特征向量为（）.)对于，求解齐次线性方程组一个基础解系为于是，属于的全部特征向量为例3设，求的特征值与的特征向量.的特征多项式为所以的特征值为解对于，求解齐次线性方程组一个基础解系为于是，属于的全部特征向量为（不全为零）.对于，求解齐次线性方程组一个基础解系为于是，属于的全部特征向量为三、特征值与特征向量的性质定理1设n阶矩阵的特征值为则（1）（称为的迹）；（2

4、）推论矩阵可逆的充要条件是的特征值都不为零.定理2若是矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量，是多项式，则为矩阵多项式的特征值，仍为的属于特征值的特征向量.例3若是矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量，证明当时，为矩阵多项式的特征值，仍为的属于特征值的特征向量.证明由于，所以即得证.例4对于可逆矩阵，若是矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量，证明（1）是的特征值，仍为的属于特征值的特征向量；（2）是的特征值，仍为的属于特征值的特征向量.证明（1）根据已知条件有因为可逆，将上式两端左乘，得故得证.（2）将两端左乘，得，即又因为，故即是的特征值

5、，为的属于特征值的特征向量.矩阵特征值特征向量与A相关的矩阵的特征值和特征向量通过下表体现:例5设阶矩阵满足，求矩阵的特征值.又得即由于是有解设是矩阵的特征值，为矩阵的属于特征值的特征向量.即又因为故因此或例6已知3阶矩阵A的特征值为－1，1，3，矩阵解令则，又因为A的特征值为－1，1，3，故B的特征值为试求B的特征值和从而定理3n阶矩阵A的互不相同的特征值的特征向量线性无关.定理4当是矩阵A的k重特征值时，属于的线性无关的特征向量的个数至多为k个.求矩阵特征值与特征向量的步骤：（1）写出矩阵的特征多项式（2）求特征方程的根，由此得到的特征值（

6、3）对于每一个特征值,求解齐次线性方程组的基础解系，从而得到属于特征值的特征向量.四、小结