线性代数课件 第4章 4 3.ppt

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1、§4.3相似矩阵与矩阵对角化一、相似矩阵的概念与性质二、方阵的相似对角化第四章特征值与特征向量三、小结一、相似矩阵的概念与性质A化为B的相似变换矩阵.定义1设为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得,则称矩阵A相似于矩阵B，或称A与B相似.记作.如果P为正交矩阵，则称A与B正交相似.对A进行运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把相似关系具有如下基本性质：（1）反身性：（2）对称性：若，则（3）传递性：若，则相似矩阵具有如下性质：性质1相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有证明设,则根据定义，存在可逆矩阵P，使得于是即A与B具有相同的特征多项式,从而具有相同的特征值

2、.注上述性质的逆命题不成立.即若A与B具有相同的特征多项式（或所有特征值相同）,A与B不一定相似.相同的特征值.性质2相似矩阵具有相同的行列式和相同的迹.证明可由性质1得到.性质3若,则性质4若，则.证明设，则，即即，所以性质5若，且可逆，则也可逆，且证明由性质3知与的秩相同，从而也可逆.设，两端同时取逆得即性质6若，对于任意多项式，有证明由性质4知，若，则存在可逆矩阵使得设则故性质7若，是的属于的特征向量，则是的属于的特征向量.证明根据已知有，，将上式两端左乘，得于是又因为，有，所以因此是的属于的特征向量.二、方阵的相似对角化定义2对于阶矩阵,如果存在阶矩阵使得，

3、则称可对角化.定理1阶矩阵可以对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.证明必要性设可以对角化，即存在可逆矩阵，使得，则必有令，其中为的列向量，，则所以有由于是可逆矩阵，，因此分别是矩阵的属于特征值的特征向量.由可逆知，它们是线性无关的.即充分性若有个线性无关的特征向量，即于是令，则一定可逆，所以，，其中，即可对角化.定理2若阶矩阵有个不同的特征值,则可对角化.证明设为阶矩阵的属于不同特征值的特征向量，由§5.2节定理3知，属于不同特征值的特征向量线性无关，故线性无关，即有个线性无关的特征向量，由定理1知，可对角化.注定理2只是阶矩阵可对角化的充分而非必要条件，

4、即若可对角化，不一定有个不同的特征值.例1若是3阶矩阵,且，，判断是否可对角化？解由已知有3个不同的特征值1，－1，－2，可对角化.因此定理3阶矩阵可对角化的充要条件是对于的每个重的特征值，该定理还可叙述为：阶矩阵可对角化的充要条件是的重的特征值恰有个线性无关的特征向量.将矩阵对角化的方法：（1）求出的特征值，设是重的；（2）对于每个特征值,求出齐次线性方程组的基础解系，设为（3）取则注由于特征向量不唯一，所以矩阵也不是唯一的，但必须保证元素的顺序相对应.的列向量的顺序与的对角线例2判断下列矩阵是否可对角化，若可以对角化，求出可逆矩阵，使得为对角阵.（1）（2）解（

5、1）先求特征值所以的特征值为显然，所以不能对角化.（2）先求特征值所以的特征值为对于所以，故可对角化.对于，求解齐次线性方程组求得它的一个基础解系对于，求解齐次线性方程组求的它的一个基础解系为取则有（2）由于，所以与具有相同的特征值，则的特征值为对于，求解齐次线性方程组解得对于，求解齐次线性方程组解得取则有对于，求解齐次线性方程组解得取则有１．相似矩阵的性质(1)相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.(2)相似矩阵具有相同的行列式和相同的迹.(3)若,则(4)若,则(5)若,且可逆,则也可逆,且三、小结(6)若,对于任意多项式,有(7)若,是的属于的特征

6、向量，则是的属于的特征向量.2.矩阵相似对角化的条件有个线性无关的特征向量（充要条件）；有个不同的特征值（充分条件）；（充要条件）