2017年的高考数学一轮复习精品资料-理专题61 不等式的证明（教学案）-2017年的高考数学（理）一轮复习精品资料.doc

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1、1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法．2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值.一、比较法证明不等式(1)求差比较法：知道a>b⇔a－b>0，ab只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法．(2)求商比较法：由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法．二、综合法与分析法1．综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，

2、推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．2．分析法[来源:ZXXK]证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．3．平均值不等式定理：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．我们称为正数a，b，c的算术平均值，为正数a，b，c【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你的几何平均值，定理中的

3、不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．4．一般形式的算术—几何平均值不等式如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．考点一、比较法证明不等式例1．已知c>b>a，证明：a2b＋b2c＋c2ab>0时，>1，>0，则>1.当b>a>0时，0<<1，<0，则>1.【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你综上可知，aabb≥(

4、ab)成立．考点二、综合法与分析法证明不等式例2．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.证明：法一：＋＋＝(a＋b＋c)＋＋≥3··3·＝9.法二：＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9．【变式探究】已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：

5、a

6、≥0；(3)a2＋b2≥2ab；它的变形形式又有(a＋b)2≥4ab，≥2等；(4)≥(a≥0，b≥0)，它的变形形式又有a＋≥2(a>

7、0)，＋≥2(ab>0)，＋≤－2(ab<0)等．2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”．【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲已知函数.（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；（II）求不等式的解集．【答案】（I）见解析（II）[来源:Z

8、XXK]【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你综上,或或,,解集为2.【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲已知函数，为不等式的解集．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当时，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你3.【2016高考新课标3理数】选修4-5：不等式选讲已知函数．（I）当时，求不等式的解集；（II）设函数．当时，，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）当时，.解不等式得.因此的解集为.（Ⅱ）当时，，【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你当时等号成立，所以当

9、时，等价于.①当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.4.【2016高考新课标3理数】选修4-5：不等式选讲[来源:ZXXK]已知函数．（I）当时，求不等式的解集；（II）设函数．当时，，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．[来源:Z&xx&k.Com]当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.1．【2015高考新课标2，理24】（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你（Ⅰ）若，则；（Ⅱ）是的充要条件．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ

10、）详见解析．1．（2014·辽宁卷）选修45：不等式选讲设函数f(x)＝2

11、x－1

12、＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.解：(1)f(x)＝当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.所以f(x)≤1的解