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1、浅谈求函数值域的方法海南侨中高一王芳文(-)课题研究的起源对于高一的学生而言，冈11接触的函数值域是他们学习屮遇到难度较大的内容。虽然在初屮阶段学习函数的时候，同学们听说过二次函数，i般函数的儿种求值域的方法，为时的求法只是停留在定义域没有限定的时候。从二次函数的图像，经过教师的授课，知道二次函数的值域；对于满足限定定义域条件的两数值域的求值，学牛的认识仍然是比较困难。只有学习了对函数的值域研究之后，学生才会对函数值域的求法有一个全面、准确的认识。在解决函数值域问题的过稈•屮，我发现学生在解题屮遇到最棘手的就是函数的图象或者函数的化简，因而解决与此相关
2、的问题时，要教会学生如何采用合理手段快速画出函数图象的关键形，点，线等，成为能否顺利解决问题的关键。(-)课题研究的过程一、分析学生情况作为新接手的高一(13)和原来的高一(12)班，我的首要任务就是要先了解和分析学生的情况。我从班主任了解了学生的大概情况，并把入学的成绩做了分析，两个班的学生基础层次大致相同，都是普通班，数学的平均分差距也不大,但是整体有一个共性，就是数学运算和画图能力较弱，这与新课程初屮阶段的数学学习要求有关，初屮数学主要要求学生扩大知识面，而对数学运算和画图的要求不是很高，这要导致了很多学生养成了眼高手低的不良习惯，运算不动手，甚
3、至想投机取巧。为了纠正学生的不良学习习惯，作为教师的我就需要帮助学生学会如何画图象和化简计算，攻克函数值域这个难关。二、实施的方法在引导学生学会求函数值域的过程屮，典型例题是最有效的方法，因此想通过对教学和平常练习屮出现的求函数值域问题的方法做些总结，以便教学之需,希望能对学生都有些许帮助。我己在实际教学屮实际地运用求函数值域的方法,因袭总结出以下求函数值域的方法O1、直接观察法:对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。f(x)=—［—例如求函数X的值域和函数f(x)=3-Vx的值域。2、二次函数配方法：(1)：设函数f(x)=x2+Ix-2
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5、1,xGR,求函数f(x)的最小值。解析：当x-220,即xM2时,函数式为f(x)=x2+x-3,此时抛物线y=x2+x—3开口向上，对称轴方程为x二一1/2,所以：当x二2时，函数有最小值，最小值为3；当x-2<0,即x<2时,函数式为f(x)=x2-x+l,此时抛物线y=x2-x+l的开口向上,对称轴方程为x=l/2,所以：当x=l/2时,函数有最小值,最小值为3/4.(2)：已知f(x)=-x2+(4a-2)x-4a2+4a,且xW［O,2］,求函数f(x)的最值。解析：函数的对称轴方程为x二2旷1,开口向下。当2a-lW［0,2］时,函数f(
6、x)在［0,2—1］上递增，在［2a-l,2］上递减,因此函数f(x)在x=2a-l时函数值最大，将其带入可求出最大值是L函数的最小值在对称轴x=2a-l处取得；当2a-1e(-co,0］时，函数f(x)在［0,2］上递减，因此当x二0时函数值最大,最大值是4a-4a2,x=2时函数值最小,即可得到函数的最小值;当2a-le(2,+°°］Cl寸，函数f(x)在［0,2］上递增，因此当x二2吋函数值最大，x二0时函数值最小，分别将其带入可求得。含有参数的一元二次函数的定义域与值域相同问题，本质上就是二次函数的最值。求解的关键是通过函数图象进行分析，由函数
7、的最人值与最小值和函数的值域进行比较而得一方程组，再通过方程组的解的存在性进行判断。3、换元法：通过简单的换元把一•个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法屮几种最主要方法Z一，在求函数的值域屮同样发挥作用。求函数f(x)=x+7^7的值域。4、分式法:x—1y=求兀+2的值域。解析：(反解x法)5、判别式法2兀-—兀+2y=(1)求函数•F+X+1的值域ax+by=——(2)已知函数’对+1的值域为[一1,4],求常数a,b的值。6、有界性法：(1)求函数"+1的值域.(2)求函数'sinx-3的值域。7
8、、数形结合法一-扩展到n个相加(])y=lx—1丨+丨兀+4丨8、反函数法:直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x+4例如求函数y二5x+6值域。9、函数单调性法:例9.求函数尸21+咤3仮二1(23°0)的值域。例如求函数y=V^ZT-V^T的值域。10、数形结合法：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题口若运用数形结合法，往往会更加简单，一口了絹赏心悦目。例求函数y=J(x-2)2+J(x+8)2的值域。总Z,求函数值域的方法是依据函数的表达式来选择的。1.根据表达式的结构
9、，有如下的常见方法可供选择：配方法、换元法、具体函数法（如二次函数、反比例函数、分段函数）、基
