实变函数讲稿14.pdf

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1、实变函数讲稿（第14讲）教学内容：(1)开集的可测性；(2)可测集的结构详细教案第2章测度论§2开集的可测性一、预备知识n1.中可测的等价刻画nn***定义E⊂，则E可测U∀T⊂，mTmTE=+(∩∩)(mTCE).***刻画IE可测U∀A⊂E，∀B⊂CE，有mABmAmB(∪)=+.n***刻画IIE可测U任何开长方体J⊂，mJmJE=+(∩∩)(mJCE).n证明()⇒直接的.我们只需证(⇐)，即只证∀T⊂有***mTEmTEmT(∩∩)+≤(C).n*事实上，∀⊂T，当mT=+∞时，上面不等式显然成立.为此,不妨设*mT<

2、+∞.因为⎧∞∞⎫*mIT=inf⎨∑nn∪I⊃T,其中为开长方体In⎬⎩⎭n=1n=1∞∞∞**则∀>ε0，存在开长方体序列{}Inn=1使∪In⊃T并且mmTIT≤∑n<+ε.n=1n=1∞∞⎛⎞⎛⎞又因⎜⎟∪In∩∩ETE⊃并且⎜⎟∪In∩∩CETE⊃C，则⎝⎠n=1⎝⎠n=1⎛⎞⎛⎞∞∞⎛⎛⎞⎞****mTEmTE()∩∩+(C)≤+mIE⎜⎟⎜⎟∪∪nn∩∩mIE⎜⎜⎟C⎟⎝⎠⎝⎠nn==11⎝⎝⎠⎠∞∞∞****≤+∑∑mIE()nn∩∩m()()ICCE=+∑⎡⎣mIEmIn∩()n∩E⎤⎦nn==11n=1第14讲██∞∞*

3、*==∑∑mInnI≺mT+ε.nn==11***由ε的任意性，有mTEmTEmT(∩∩)+≤(C).从而，***mTmTE=+(∩∩)mT(CE).□2.长方体的外测度命题0如果是一个In维长方体或者是从一个n维长方体中挖去有限个长方*体后的剩余部分，则mI=I.这命题是本章开始时，对外测度讨论所得到的结果.现在,我们从它出发证明下面的命题.二．开集的可测性n命题1中任何长方体是可测的，并且mI=I.n证明I是中的一个长方体，由前面的刻画II，我们只证对任何开长方体J***C有mJmJI=+()∩∩mJI().C事实上，对于任何开长方

4、体J，J∩I是一个长方体.而JIJJI∩∩=−是从长方体J中挖去长方体JI∩的剩余部分，由命题0，有**C**mJImJI()∩∩∩+=+()mJImJJI()(−∩)*=+JIJJIJIJJIJmJ∩∩−=+∩∩(−=)=.***C*即mJmJI=+()∩∩mJI().从而，可测I.由命题0,mI=mI=I.□n定义1中的点集nnGxx=∈{}()1,,"icxd

5、i是左开右闭的长方体.in证明对于∀k∈`，可分成可数个形如73▉▉实变函数n⎛⎤mm+1iiBmmkn==()1,,"∏⎜kk,⎥i=1⎝⎦22n的互不相交的左开右闭的长方体（其中m∈]），并且∀=xxx(,,")∈，i1n()kk()()kn∀∈k`，存在唯一的元整数组n(mm12,,,"`mn)∈使得n⎛⎤()kk+()kk()mmii1xBm∈=kn()1,,"m=∏⎜⎜kk,⎥（*）i=1⎝⎦22当k=1时，假设完全包含于G的这种长方体的全体为()jj()B11=∈{B(mmj1,,"n)A1},其中：A⊂`.1()jj()对

6、于k>1，用Bkk=∈{B(mmj1,,"n)Ak}表示完全包含于G的形如（*）式的两两不相交的长方体构成的集族，其中A⊂`并且kk−1()jj()∪Bll={Bm()1,,""mnjAl∈=l,1,2,,1k−}l=1中任何一个都不相交的长方体的全体.显然,当lk≠时，有AA∩=∅.lk∞()jj()现在证明：∪∪()Bk=G，其中∪∪Bkk=Bm(1,,"mn).k=1jA∈kn事实上，对∀x∈G，∃δ>0使得Ox()(,,δδ=∏xii−+⊂xδ)G.因为i=1n⎛⎤()kk()+(k)()kmmii11xB∈∀k()k∈`并且Bkk

7、=∏⎜⎜kk,0⎥=→→nk()+∞.所i=1⎝⎦222以()k1n1∃∈k`，B=<δ，即<δ，故knkk22nn⎛⎤()kk()+()kmmii1x∈=Bxki∏∏⎜⎜kk,,⎥⊂()−+=δδxiO(x,δ)⊂G.ii==11⎝⎦22∞kk=∈∈min`xB()k⊂G()k0再令0{k}，则xB∈∈⊂kk00B∪Bk.因此，k=174第14讲██∞∪∪()Bk=G.□k=1根据引理1和可测集合的运算性质，不难得知：n定理1中任何开集，闭集，F型集，G型集都是可测集.σδ定义2（Borel集定义）由开集经过至多可数次交，并，差运算之后

8、所得到的集合称为是Borel集.由此，我们再根据可测集的运算性质得到：命题2G型集与F型集都是Borel集.δσ2下面，我们用]ab,[表示上的开区间；(ab,)表示中点；A