实变函数讲稿19.pdf

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1、实变函数讲稿（第19讲）教学内容：Lusin（鲁津）定理详细教案第三章可测函数§3.2.可测函数的逼近定理一、Egoroff（叶果洛夫）定理定理1（Egoroff）设mE<+∞，∀∈n`，

2、(fx)

3、<+∞a.e.[E]，且n

4、f(x

5、)<+∞a.e.[E]，则f()x→f()xaeE..[]当且仅当∀δ>0，∃⊂EEnδ使得m(E−E)<δ，并且f(x)在E上一致收敛于f(x).δnδ二、Lusin（鲁津）定理定理2（Lusin）设mE<+∞,

6、()

7、fx<+∞ae[.E]，则∀ε>0，存在闭集E⊂E使得m(E−E

8、)<δ，并且f(x)在E上连续.δδδ为了证明这一个定理,我们先作如下一些知识准备.1.预备知识n命题1.设E是R中的任意可测集，则∀ε>0，存在开集G⊃E使得并ε且m(G−E)<ε.ε证明（1）首先考虑当mE<+∞时的情况.因为∞∞mE=inf{∑

9、Iii

10、

11、∪I⊃EI,i为开长方体},i=1i=1∞∞则对于∀ε>0，存在开长方体序列{Ii}i=1，使得∪Ii⊃E，并且i=1∞mE≤∑

12、Ii

13、

14、=m(∪Ii)−mE≤∑

15、Ii

16、−mE<εi=1i=1（2）再考虑mE=+∞时的情况∞n取中单调递增的开长方体{Ji}i=1，使得E⊂∪Ji.对于∀i∈`,令i=1∞Ei=E∩Ji,则E=∪Ei.因为∀i∈`，存在开集Gi⊃Ei有i=1εmGE()−<，iii+12∞令Gε=∪Gi，则Gε是开集，Gε⊃E并且i=1∞∞∞mG()(ε−=Em∪∪Gii−E)(≤m∪(GEi−i))ii==11i=1∞∞εε≤∑∑mGE()ii−≤i+1=<ε.ii==1122于是,结论得证.□n命题2设E是中任意可测集，则∀ε>0

17、，存在闭集E⊂E使得εm(E−E)<ε.εnnn证明设E是中任意可测集，则A=−E在中可测.对于∀ε>0，nnn存在开集G⊂，G⊃A使得m(G−A)<ε.令FG=−，则F是εεn中闭集，FA⊂−⊂E，并且εnnmEF(−)=−m[(\A)(−−G)]≤−mGA()<ε.εnn因为G⊃A，所以F=\−GA⊂−=E.□ε命题3设f(x)是可测集E上的处处有限可测函数，则存在E上的简单函数∞序列{g(x)}使得∀x∈E，limg()xfx=().nn=1nn→∞+−+证明因为f(x)=f(x)−f(x)(

18、∀x∈E)对于非负可测函数f(x)与96第19讲██−∞∞f(x)，由p.47定理1，存在简单函数序列{ϕ(x)}与{ψ(x)}使得∀x∈E,nn=1nn=1+−limϕ(x)=f(x)，limψ(x)=f(x)nnn→∞n→∞+−从而,lim[ϕ(x)−ψ(x)]=f(x)−f(x)=f(x).nnn→∞对于∀x∈E，∀n∈`，令g(x)=ϕ(x)−ψ(x)，则g(x)仍是E上的简nnnn单函数.∞事实上，若ϕ(x)=ci，x∈Ei,i=3,2,1",m,并且E=∪Ei;又若i=1kψ(x)=dj,x∈Fj,(j=

19、3,2,1",m),∪Fj=E,则j=1ϕ(x)−ψ(x)=c−d，x∈E∩Eijij并且E=∪(Ei∩Ej).从而，ϕ(x)−ψ(x)是一简单函数.从而，gn()x=i,jϕ()x−ψ()x是简单函数序列，并且limg()xfx=()(x∈E).□nnnn→∞n定义1设E⊆，f(x)是定义E在上的函数，x∈E.01）称f(x)在x点相对于E是连续的，如果∀ε>0，∃δ>0，使得0∀∈xEOx∩(,)δ，有

20、f(x)−f(x

21、)<ε;002)称f(x)在E上连续，如果∀x∈E，f(x)都在点x相对于E是连续的.00

22、n引理1.假设F⊆，是闭集，f(x)是F上的连续函数序列，并且一致n收敛到f(x)，则f(x)在F上连续.证明∀x∈F，∀ε>0，因为f(x)在F上一致收敛于f(x)，则∃∈N`，0n∀n>N时，∀x∈F，恒有ε

23、f(x)−f(x

24、)<.n3ε特别地，对于x∈F，有

25、()()

26、fxfx−<.0n003现在取n∈`使得n≥N.因为f(x)在x连续，所以∃δ>0，使得00n00∀∈xFOx∩(,)δ，有0ε

27、f(x)−f(x

28、)<.n0n00397▉▉实变函数从而，∀ε>0，∃δ>0，∀xFOx∈∩(,)δ，恒有0

29、(

30、)()

31、

32、()fx−≤−+−+−fxfxf()

33、

34、()xfxf()

35、

36、()()

37、xfxfx00nn00nn000εεε<++=ε.333从而,f(x)在F上连续.□定理2（Lusin）设mE<+∞，f(x)（

38、f(x

39、)<+∞a.e.[E]）是E上几乎处处有限的可测函数，则∀ε>0，存在闭集F∈E，使得ε（i）m(E−F)<ε，并且ε（ii）f