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1、实变函数讲稿（第6讲）教学内容：Borel有限覆盖定理与p进制表数法详细教案：§1.4直线上开集与闭集的结构一．Borel有限覆盖定理引理任何有界的无穷点列必有一收敛的子列.∞证明：设{}x是一个有、有界无穷点列，记Ex={n∈`}如果E是有nn=1n限集，则E中必有一个元在序列{x}中出现无穷次.不妨设某一个在{x}中出现nn无穷次的E中元为x，即存在{x}中的子列{x}有x=xx==""==xnnknn12nk从而{x}是{x}的以x为极限的子列.nkn如果E是无限集，由聚点原理，E必有一个聚点x.从而,对于1⎡⎤⎛⎞1δ=，可取x∈⎢⎥Ox⎜⎟,−{}x∩E，n12⎣⎦⎝⎠21⎡⎤⎛⎞
2、1δ=，可取x∈⎢⎥Ox⎜⎟,−{}x∩E，其中nn>.22n22221⎣⎦⎝⎠1⎡⎤⎛⎞1δ=，可取x∈⎢⎥Ox⎜⎟,−{}x∩E，其中nn>>n.23n323321⎣⎦⎝⎠#1⎡⎤⎛⎞1δ=，可取x∈⎢⎥Ox⎜⎟,−{}x∩E，其中nn>>">n.knkkkk−112⎣⎦⎝⎠2∞∞这样继续做下去，得到{}x的一个子列{x}，使得x→x.□nn=1nkk=1nkn定理9（Borel有限覆盖定理）设F是中一个有界闭集，G={Gλ∈Λ}λ是一族开集，并且∪λ∈ΛGλ⊃F，则存在G中的有限个开集Gλ1,,"Gλn使得▉▉实变函数讲稿n∪GFλ⊃.ii=1证明：(1)先证：∃δ>0，∀x∈F，∃
3、λ∈Λ使得Ox(,δ)⊂G.λ（反证）如果对于∀δ>0，∃x∈F使得∀λ∈Λ有Ox(,δ)⊄G.即，δδλ∀∈λΛ，Ox(),δ−G≠∅.δλ1⎛⎞1特别地，∀∈n`，取δ=，则∃x∈F使∀λ∈Λ有Ox⎜⎟,−G≠∅.nδλn⎝⎠n因此，F中点列{x}有收敛子列{x}.不失一般性，设xx→(k→∞).因为nnknk{xnk}⊂F并且F是闭集，则x∈⊂FG∪λ∈Λλ.故∃λ0∈Λ使x∈Gλ0.从而,∃>δ0使得Ox(,δ)⊂G.λ01又因为x→x，且→0()k→∞，故∃k∈`，使∀k>k时，有nk00nkδ1δ⎛⎞1ρ(xxn,)<，且<.因此，Ox⎜⎟n,,⊂O()xδ.k2n2knk⎝⎠k
4、⎛⎞1δ1事实上，∀∈yO⎜⎟x,，有ρρ()x,,yx≤+(x)ρ(x,y)<+δ0，使得∀x∈F，∃λ∈Λ使得Ox(,δ)⊂G.λm(2)再证:∃GGλ,,"λ有F⊂∪Gλi1mi=1用形如nsxin={()1,,"x∈xi=ci（常数），xj∈="(ji1,,−1,i+1,",n)}的超平面，将F分成有限个小闭集FF,,",F，使得每个F中任意两点的距离都12miδδ小于，即dF()<.∀≤ii
5、(1≤m)，取x∈F⊂F,则∃λ∈Λ使Ox(),δiiiii22⊂G.故，FO⊂⊂(x,δ)G.λiiiλi28第6讲██mm从而,F=⊂∪Fi∪Gλ.于是，定理得证.□iii==11二．p进制表数法（p.19）设x∈(0,1)，将闭区间[0,1]p等分，其分点为⎛⎞ii+111若x不是分点，则存在唯一的ii11(01≤≤−p)使得x∈⎜,⎟；又将闭⎝⎠pp⎡⎤ii+111区间⎢,⎥p等分，其分点为：⎣⎦pp如果x还不是分点，则又存在唯一的ii(01≤≤−p)，使得22⎛⎞iiii+1⎡iiii+1⎤12121212x∈+⎜⎟,+；又将闭区间⎢++,⎥p等分，其分点为：2222⎝⎠pppp⎣
6、pppp⎦如果x也不是分点，则还存在唯一的ii(01≤≤−p)，使得33⎛⎞iiiiii+1123312x∈+⎜⎟+,++.2323⎝⎠pppppp29▉▉实变函数讲稿iii12k如果x始终不是分点，则x=++""++ppp这时将x表示x=0.ii"i"，x称为p进制表示，其中：12kipk∈−{0,1,2,",1}.iii12k如果存在某一步（例如：第k步），x是分点，不妨记x=++"+,ppp⎡⎤iiii−1ii12kk12则x∈+⎢⎥+""+,+++，表x为2kk2⎣⎦ppppppxi=−0.12i""(ik111)(p−)(p−)⎡⎤iiiiii+112kk12并且x∈+⎢⎥+"+,
7、++"+，表x为xi=0.i""i00.2kk212k⎣⎦pppppp又将x=0的十进制数，表成x=0.00"0",将x=1的十进制数表称p进制的xp=−0.0()1(p−1)"从而，对于任何自然数p，可将[0,1]中的一切实数表示成p进制小数，是分点的实数有两种表示方法，不是分点的只有一种表示方法.下面，我们用p=3进制表示法来讨论著名的Cantor集.3.3直线上的点集开集：E称为开集，如果∀x∈E，∃δ
