微积分-积分公式定理集锦.doc

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1、北京理工大学微积分-积分定理集锦常用积分公式定理程功2010/12/22定理1.积分存在定理1）2）（此性质可以推广到有限多个函数求和的情况）。性质3：（定积分对于积分区间具有可加性）性质4:性质5：推论（1）：如果在区间上，则推论（2）：性质6：设及分别是函数上的最大值与最小值，则3.定积分中值定理如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点，使4.积分上限函数函数的性质如果在上连续，则积分上限的函数在上具有导数，且导数为补充：如果连续，、可导，则的导数为5．原函数存在定理如果在上连续，则积分上限的函数就

2、是在上的一个原函数。定理的重要意义：1）肯定了连续函数的原函数是存在的.2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.6.牛顿-莱布尼茨公式如果是连续函数在区间上的一个原函数，则7.不定积分的性质此性质可推广到有限多个函数之和的情况8.换元公式设具有原函数，可导，则有换元公式常见类型：设是单调的、可导的函数，并且，又设有原函数，则有换元公式，其中是的反函数。三角代换的目的是化掉根式，一般规律如下：当被积函数中含有：可令可令可令简单无理函数的积分:讨论类型：解决方法:作代换去掉根号．9.分部积分设函数和具有连续

3、的导数，。（分部积分公式）分部积分顺序：反、对、幂、指、三前者为。10.有理函数化为部分分式之和的一般规律：（1）分母中若有因式，则分解后为其中都是常数。特殊的，分解后为（2）分母中含有因式，其中，则分解后为其中都是常数。特殊的分解后为11.将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：（1）多项式：讨论积分：这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数结论：有理函数的原函数都是初等函数12.三角函数有理式积分三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为令，则：13.定积分换元公式设在

4、上连续，函数在上是单值的且有连续导数；当在区间上变化时，的值在上变化，且，则有。注意：（1）用把变量换成新变量时，积分限也相应改变。求出的一个原函数后，不必像计算不定积分那样再要把变换成原变量的函数。而只要把新变量的上下限分别代入然后相减就行了。14.定积分分部积分公式设函数、在区间上具有连续导数，则有15无穷限广义积分设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分记作当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。类似的，设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极

5、限为函数在无穷区间上的广义积分记作当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。设函数在区间上连续，如果广义积分都收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间上的广义积分记作当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。16.无界函数的广义积分设函数在区间上连续，而在点的右邻域内无界．取，如果极限存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分，记作当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。设函数在区间上除点外连续，而在点的邻域内无界.如果两个广义积分和都收敛，则定义否

6、则，就称广义积分发散.定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.说明：若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分,而不是广义积分，例如：17.微元法的一般步骤1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量，并确定它的变化区间；2）设想把区间分成个小区间，取其中任一小区间并记为，求出相应于这小区间的部分量的近似值.如果能近似地表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积，就把称为量的微元且记作，即；3）以所求量的微元为被积表达式，在区间上作定积分，得，即为所求量的积分表达式.应用方向：平面图形的面积

7、、体积；平面曲线弧长；功；水压力；引力和平均值等．18.几何应用1）面积计算直角坐标系：参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积（其中和对应曲线起点与终点的参数值）在[,]（或[,]）上具有连续导数，连续.极坐标情形设由曲线及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里，在上连续，且．面积元素曲边扇形面积2）旋转体体积：一般地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积微元：体积：类似地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为思考：如

8、果曲线由参数方程表示，如何求旋转体的体积？3）平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.表示过点且垂直于轴的截面面积。为的已知连续函数立体体积4）平面曲线弧长设是曲弧上的两个端点，在弧上插入分点此折线的长的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长.直角坐标情形设曲线弧为，其中在上有一