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1、.一、函数【定义1.1】设在某一变化过程中有两个变量x和y,若对非空集合D中的每一点x,都按照某一对应规则f,有惟一确定的实数y与之相对应,则称y是x的函数,记作yf(x),xD.x称为自变量,y称为因变量,D称为函数的定义域,y的取值范围即集合y
2、yf(x),xD称为函数的值域.xoy平面上点的集合(x,y)
3、yf(x),xD称为函数yf(x)的图形.定义域D(或记Df)与对应法则f是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.（二）函数的几何特性1．单调性（1）【定义
4、1.2】设函数f(x)在实数集D上有定义,对于D内任意两点x1,x2,当x1＜x2时,若总有f(x1)≤f(x2)成立,则称f(x)在D内单调递增（或单增）；若总有f(x1)＜f(x2)成立,则称f(x)在D内严格单增,严格单增也是单增.当f(x)在D内单调递增时,又称f(x)是D内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性【定义1.3】设函数f(x)在集合D内有定义,若存在实数M＞0,使得对任意xD,都有
5、f(x)
6、≤M,则称f(x)在D内有界,或称f(x)为D内的有界函数.
7、【定义1.4】设函数f(x)在集合D内有定义,若对任意的实数M＞0,总可以找到一xD,使得
8、f(x)
9、＞M,则称f(x)在D内无界,或称f(x)为D内的无界函数.【定义1.5】设函数f(x)在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意xD,都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)),则称f(x)为D内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当f(x)为连续的函数时,f(x)=0,即f(x)的图形过原点.偶函数的图形关于y轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设f1(x)f2(x)为奇函数,g1(x)
10、,g2(y)为偶函数,则f1(x)f2(x)为奇函数；g1(x)g2(x)为偶函数；f1(x)g1(x)非奇偶函数；f1(x)g1(x)为奇函数；f1(x)f2(x),g1(x)g2(x)均为偶函数.常数C是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.4．周期性【定义1.6】设函数f(x)d在集合D内有定义,如果存在非零常数T,使得对任意xD,恒有f(xT)f(x)成立,则称f(x)为周期函数.满足上式的最小正数T,称
11、为f(x)的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.yx[x]是以1为周期的周期函数.y[x]与yx[x]的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.1/26.（三）初等函数1．基本初等函数（1）常数函数yC,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x轴的直线.在y轴上的截距为c.（2）幂函数yx,其定义域随着的不同而变化.但不论取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当＞0时,函数图形过原点（图1-2）（a）(b)图1-2（3）指数函数yx
12、(0,1),其定义域为（-∞,+∞）.当0＜＜1时,函数严格单调递减.当＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e为底的指数函数,即yex（图1-3）（4）对数函数ylogx(0,1),其定义域为（1,+∞）,它与yx互为反函数.微积分中常用到以e为底的对数,记作y1nx,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3)(图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积
13、分应用中都很重要.例如,设f(x)在(a,b)区间内二阶可导,对任意x(a,b),f″(x)＜0.2/26.则(1)f′(x)在(a,b)内严格单调减少；（2）f(x)在(1,b)上为凸弧,均不充分.此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,yx4为凸弧.′=4x3yx20,y在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但″=-12≤因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f″(x)≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷
14、.2．反函数【定义1.7】设函数yf(x)的定义域为D,值域为R,如果对于每一个yR,都有惟一确定的xD与之对应,且满足yf(x)x是一个定义在R以y为自变量的函数,记作xf1(y),yR.并称其为yf(x)反函数.习惯上用x作自变量,y作因变量,因此yf(x)反函数常记为yf1(x),xR.函数yf(x)与反函数yf1(x)的图形关于直线yx对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.yax与ylogax互为反函.yx2,xy2（－∞,0）的反函数
