注册工程师公共基础高等数学手册.pdf

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1、高等数学手册1.1空间解析几何1.1.1向量代数定理：设向量a≠0，那么，向量b与向量a平行的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b=λa非零向量a与三条坐标轴正向的夹角α，β，γ称为它的方向角。向量的模、方向角与坐标之间的关系：ax=acosα，ay=acosβ，az=acosγ其中，cosα，cosβ，cosγ称为向量a的方向余弦。222Cosα+cosβ+cosγ=1设向量a和向量b的夹角为θ（0≤θ≤π），向量a和向量b的数量积为一个数量，记做a•b=abcosθ。向量a和向量b垂直的充分必要条件是a•b=0。向量a和向量b的向量积为一个向量c，记做a×b，c的模c=a

2、bsinθ，c的方向垂直于a与b所决定的平民，c的指向按右手法则确定。设向量a={ax,ay,az}，b={bx,by,bz}，则a•b=axbx+ayby+azbz⎧ijk⎫⎪⎪a×b=⎨axayaz⎬={aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx}⎪⎪bbb⎩xyz⎭向量a和向量b平行的充分必要条件是a×b=0a×b=-b×a1.1.2平面设平面Ⅱ过点M（0x0，y0，z0），它的一个法向量n={A,B,C}，则平面的方程为A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0。设平面与x，y，z轴分别交于P（a，0,0），Q（0，b，0），和R（0,0，c）三

3、点（其中a≠0，b≠0，c≠0），则平面方xyz程为：++=1。abc设有平面A1x+B1y+C1z+D1=0和平面A2x+B2y+C2z+D2=0，则两平面的夹角θ由下式确定：AA+BB+CCcosθ=121212222222A+B+CA+B+C111222两平面相互垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0ABC两平面相互平行相当于111==ABC222空间一点到M0（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0的距Ax+By+Cz+D离为：d=000222A+B+C1.1.3直线设空间直线L是平面A1x+B1y+C1z+D1=0和平面A2x+B2y+C2z+D2=0的

4、交线，则L的方程为⎧A1x+B1y+C1z+D1=0⎨⎩A2x+B2y+C2z+D2=0设直线L过点M0（x0，y0，z0），它的一个方向向量为x−xy−yz−zs={m,n,p}，则直线的方程为000==mnpx−xy−yz−z如设参数t如下：000=t==mnp⎧x=x0+mt⎪则⎨y=y0+nt⎪⎩z=z0+ptx−xy−yz−zx−xy−yz−z设直线000和直线000，它们====mnpmnp111222的夹角ϕ可由下式确定mm+nn+ppcos121212ϕ=222222m+n+pm+n+p111222两直线相互垂直相当于m1m2+n1n2+p1p2=0mnp两直线

5、相互平行相当于111==mnp222x−xy−yz−z直线000与平面Ax+By+Cz+D=0的夹角ϕ可==mnpAm+Bn+Cp由下式确定：sinϕ=222222A+B+Cm+n+pABC直线与平面垂直相当于==mnp直线与平面平行或直线在平面上相当于Am+Bn+Cp=01.1.4柱面旋转曲面二次曲面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线Ｌ形成的轨迹叫做柱面。定曲线Ｃ叫做准线，动直线Ｌ叫做母线。以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面。三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。球面：()2()2()22x−x+y−y+z−z=R00022圆锥面：xy2+=z2

6、2aa22椭圆锥面：xy2+=z22ab222xyz椭球面：++=1222abc2222xyxy椭圆抛物面：+=z，+=−z2222abab22xy双曲抛物面：−=z22ab222xyz单叶双曲面：+−=1222abc222xyz双叶双曲面：−−=1222abc１.1.5空间曲线在坐标面上的投影⎧F(x,y,z)=0设空间曲线C的一般方程为⎨，由以上方程组消⎩G(x,y,z)=0去变量z后所得方程H(x,y)=0必定包含投影柱面。1.2微分学1.2.1极限函数f(x)当x→x（或x→∞）时的极限存在的充分必要条0件是函数的左、右极限均存在且相等，即(−)(+)fx=fx。00极

7、限存在准则和两个重要极限：sinx（1）夹逼准则和极限lim=1x→0xxx（2）单调有界准则和极限⎛1⎞⎛1⎞1lim⎜1+⎟=e，lim⎜1−⎟=x→∞⎝x⎠x→∞⎝x⎠e当x→0时，常用等价无穷小：xnxa−1(1+x)−1x~sinx~tgx~In(1+x)~e−1~~，Inan12nx1−cosx~x，1+x−1~2n1.2.2连续若limf(x)=f(x)，则称f(x)在x连续。00x→x01.2.3导数∆y设函数f(x)在x的某邻域内有定义，若极限lim=0∆x→0∆xf(x+