高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学案 新人教B版必修.doc

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1、1.1.6　棱柱、棱锥、棱台和球的表面积[学习目标]　1.理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的定义及计算公式.2.了解球、圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式.[知识链接]1.棱柱的侧面形状是平行四边形；棱锥的侧面是三角形；棱台的侧面形状是梯形.2.圆柱、圆锥、圆台的底面形状是圆.3.三角形的面积S＝ah(其中a为底，h为高)，圆的面积S＝πr2(其中r为半径).[预习导引]柱体、锥体、台体、球的表面积几何体表面积公式圆柱S＝2πr(r＋l)(其中r为底面半径，l为母线长)圆锥S＝πr(r＋l)(其中r为底面半径，l为母线长)圆台S＝π

2、(r′2＋r2＋r′l＋rl)(其中r′，r分别为上、下底面半径，l为母线长)球S＝4πR2(其中R为球的半径)要点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积例1　已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°，求它的侧面积和表面积.解　如图所示，设正四棱锥的高为PO，斜高为PE，底面边心距为OE，它们组成一个直角三角形POE.∵OE＝＝2，∠OPE＝30°.∴PE＝＝＝4.∴S正四棱锥侧＝ch′＝×(4×4)×4＝32，S表面积＝42＋32＝48.即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.规律方法　1.要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中

3、所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量.2.空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成.跟踪演练1　若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，求其表面积.解　由主视图知三棱柱的高h＝1，底面三角形边长为2，故S侧＝3×2×1＝6，S底＝2×22×＝2，S表＝S侧＋S底＝6＋2.∴几何体的表面积为6＋2.要点二　空间几何体的表面积例2　如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直线为轴旋转一

4、周所得几何体的表面积.解　以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4cm，下底半径是16cm，母线DC＝＝13(cm).∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2).规律方法　1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.跟踪演练2　在题设条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解　以BC所在直线

5、为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD＝4cm，故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm2).要点三　球的表面积例3　有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.解　设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2.(2)球与正方体的各棱的切点

6、在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r3＝a，r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.规律方法　1.在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解.2.球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解.跟踪演练3　已知H是球O的直径AB上一

7、点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________.答案　π解析　如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得HA＝·2R＝R，∴OH＝.∵截面面积为π＝π·(HM)2，∴HM＝1.在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，∴R2＝R2＋HM2＝R2＋1，∴R＝.∴S球＝4πR2＝4π·2＝π.1.已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为(　　)A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8答案　B解析　∵半径比为1∶2，且S＝4πR2，∴表面积比为半径比的平方，故选B.

8、2.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　)A.2B.4C.6D.8答案　D解析　由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.∴S侧＝1×2×