医学高等数学1.3函数的连续ppt课件.ppt

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1、医学高等数学回顾上节课内容：极限的运算法则两个重要的极限无穷小量的比较其中B≠0和的极限=极限的和差的极限=极限的差积的极限=极限的积商的极限=极限的商第一个重要极限的一般形式注:代表相同的表达式将n改为任何实数时，结论仍成立第二个重要极限即设,对同一自变量的变化过程为无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的高阶无穷小是的等价无穷小若β/α极限不存在，则无法比较【定义10】1.3函数的连续性自然界中许多现象，如气温的变化、动植物的生长等等，都是连续变化的。其含义是：当时间变化很微小时，气温变化、动植物的生长量也很微小。这种现象在函数中的反映，就是函数

2、的连续性。1.3函数的连续性1.3.1函数的连续性1.3.2间断点1.3.3初等函数的连续性1.3.4闭区间上连续函数的性质设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,当自变量由点x0变到另一点x时,称x-x0值为自变量的增量,记为Δx=x-x0,相应地f(x)-f(x0)值为函数的增量,记为Δy=f(x)-f(x0).增量定义因为,故有1.3.1函数的连续性自变量增量Δx=x-x0函数增量Δy=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)增量的几何意义可以看出：当自变量变化非常小时，函数的变化也非常小；这就是连续函数的本质特征定义11设函数y=f(x)在x0

3、点的某一邻域内有定义，在x0点给自变量以增量Δx=x-x0，相应地函数的增量Δy=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)，如果则称函数y=f(x)在点x0连续，并称点x0为函数f(x)的连续点增量形式增量为无穷小量的另一种表示方法由此函数f(x)在点x0处连续的定义又可以表述成另一种形式即定义12连续函数求极限即为求函数值极限形式设函数y=f(x)在x0点的某一邻域内有定义，若当时，函数f(x)的极限存在且等于即，则称函数y=f(x)在点x0连续函数的连续性是一个局部性的概念，是逐点定义的函数在点连续必须具备下列条件:(2)极限存在；(1)在点即有定义，存

4、在；(3)由函数在一点处连续的定义及,有例16验证函数y=sinx在区间上连续。在区间上任取一点x,当x有增量时，证：对应的函数增量为：和差化积公式：当时，是无穷小量，且为有界函数，根据定理3可知仍为无穷小量，从而有，所以函数y=sinx在区间上连续同样可证:函数在内连续.【定义13】设函数y=f(x)在点x0的左邻域内(x0-δ,x0］同理可定义函数f(x)在x0点右连续，即它在x0点即左连续又右连续，即内有定义,若,则称函数y=f(x)在点x0处左连续.函数f(x)在x0点连续的充分必要条件是：如例6中，函数在x=0点有定义所以不存在.如图所示.因此f(x)在0点

5、不连续,但左连续.左连续右连续[]ab点的连续，推广到区间连续：若f(x)在区间（a,b）上每一点都连续，则称f(x)在区间(a,b)上连续如果f(x)在x=a点右连续，而在x=b点左连续，则称f(x)在区间[a,b]上连续．问题：如何定义f(x)在[a,b)或（a,b]上连续？1.3.2间断点如果函数y=f(x)在点x0处不连续，则称x0点为种情况之一时，点x0为函数f(x)的间断点:f(x)的间断点或不连续点。根据定义12可知，当函数f(x)在点x0有下列三例18函数在x=1点无意义,所以x=1是此函数的间断点，见图：x例19函数在x=0点有定义,所以不存在。因此

6、f(x)在0点不连续。xy0-1121-1例20函数在x=0处有定义所以x=0是f(x)的间断点。但11yx2-10-1-2注意：狄利克雷函数：x为有理数时x为无理数时在定义域R内每一点处都间断不要以为函数的间断点只是个别的几个！yxOyxOy=f(x)y=f(x)x0连续(continuous)间断(discontinuous)连续函数的几何意义:在其定义区间上是一条不间断的曲线1.3.3初等函数的连续性一切基本初等函数在其定义区间内都是连续的。（P6-8表1-1）连续函数的运算【定理6】设函数f(x)、g(x)在点连续，则f(x)±g(x)在点连续；f(x)×g(

7、x)在点连续；当g(x0)≠0，f(x)/g(x)在点连续。【定理7】于,即；函数在相应点设函数当时极限存在且等当时的极限也存在且等于，即有：处连续，即，则复合函数三、复合函数的连续性内层函数极限存在复合函数的极限存在极限符号与函数符号可交换例21求极限推论5连续函数的复合函数是连续函数定理7内层函数极限存在函数在区间上单调增加(或单调减少)且连续，则其反函数在对应的区间上也单值、单调增加(或单调减少)且连续。反函数的连续性初等函数在其定义区间内是连续的。其定义域可能有孤立点，在这些点不讨论连续性四、初等函数的连续性例22求函数的连续区间，并求当时，