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1、高考复习基本不等式及其应用要点梳理1.算术平均数与几何平均数对于正数a,b，我们把称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数.2.基本不等式：（1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件：当且仅当时取等号.（3）结论：两个正数a,b的算术平均数其几何平均数.a≥0,b≥0a=b不小于3.几个重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).4.利用基本不等式求最值设x,y都是正数.（1）如果积xy是定值P，那么当时，和x+y有最小值.（2）如果和x+y是定值S，那么当时积xy有最大值.
2、即“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.2x=yx=y基础自测1.已知ab≠0，a,b∈R，则下列式子中总能成立的是.解析①中不能保证为正，③中未必为负，②显然错误.④2.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为.解析∵x+3y-2=0,∴x+3y=2.又3x+27y+1=3x+33y+1≥当且仅当3x=33y,即x=3y=1,x=1,y=时取等号.73.已知的最小值为.解析即x=10，y=6时，xy有最小值60.4.设x,y为正数，则的最小值为.解析∵≥5+2×2=9当且仅当y=2x
3、时取得最小值9.609【例1】（1）已知a>0,b>0,a+b=1,求证：(2)已知x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1,求证：证明（1）∵a>0,b>0,a+b=1,所以原不等式成立.（2）∵x、y、z是互不相等的正数，且x+y+z=1,将①②③三式相乘，得跟踪练习1（1）已知x>0,y>0,z>0.求证：(2)求证：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).证明（1）∵x>0,y>0,z>0,（当且仅当x=y=z时等号成立）（2）∵a4+b4≥2a2b2,b
4、4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).【例2】（1）已
5、知x>0,y>0，且求x+y的最小值；（2）已知x<,求函数的最大值；（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.（1）注意条件中“1”的代换，也可用三角代换.（2）因为4x-5<0，所以要先“调整”符号；又(4x-2)·不是常数，所以对4x-2要添项“配凑”.分析（3）可利用xy与x+y的关系，转化为只含有x+y的不等式，或将x+y转化为只含一个变量的函数，再求其最值.解（1）∵x>0,y>0,即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，y取得最大值1.(3)由2x+8y-
6、xy=0,得2x+8y=xy,∴又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.跟踪练习2（2010·徐州模拟）解下列问题：（1）已知a>0,b>0，且4a+b=1，求ab的最大值；（2）已知x>2,求的最小值.解（1）∵a>0,b>0,4a+b=1,∴1=4a+b≥2当且仅当4a=b=即时，等号成立.【例3】（1）已知x>0,y>0,lgx+lgy=1，求的最小值.（2）设x>-1，求函数的最值.①由lgx+lgy=1可得xy=10为定值.②可化为的形式再
7、用基本不等式.（1）解方法一由已知条件lgx+lgy=1,可得xy=10.则当且仅当2y=5x，即x=2,y=5时等号成立.分析方法二跟踪练习3函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则的最小值为.解析∵A（-2，-1）在直线mx+ny+1=0上，∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,mn>0,∴m>0,n>0.8【例4】（14分）某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与
8、其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由.解题示范解（1）设该厂应隔x(x∈N+)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元),∴x天饲料的保管与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+…+6=
