第1讲 等差数列、等比数列.docx

《第1讲 等差数列、等比数列.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第1讲　等差数列、等比数列【自主学习】第1讲　等差数列、等比数列(本讲对应学生用书第57~59页)自主学习　回归教材1.(必修5P39例3改编)已知等差数列{an}，如果点(n，an)在直线y=2x-1上，那么公差d=　　　　.【答案】2【解析】由题意知an=2n-1，所以公差为2.2.(必修5P48习题7改编)在等差数列{an}中，已知S5=5，那么a3=　　　　.【答案】1【解析】由于S5=5a3=5，所以a3=1.3.(必修5P54习题11改编)已知实数k和5k-2的等比中项是2k，那么k=　　　　.【答案】2【解析】由题意知k(5k-2)=(2k)2，即k2-2k=0

2、，所以k=2或k=0(舍去).4.(必修5P54习题6改编)已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成等比数列，则该等比数列的公比q=　　　　.【答案】3【解析】设等差数列公差为d，由a2，a3，a6依次构成等比数列得=a2a6，即(a2+d)2=a2(a2+4d)，d=2a2，所以等比数列的公比q===3.5.(必修5P62习题13改编)对于任意实数x，若有an=xn，则数列{an}的前n项和Sn=　　　　.【答案】【解析】当x=0时，Sn=0；当x=1时，Sn=n；当x≠0，且x≠1时，Sn=.【要点导学】要点导学　各个击破等差数列、等比数列的基本量运算例1　(20

3、15·北京卷)已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4-a3=2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等?【分析】(1)利用等差数列的通项公式，将a1，a2，a3，a4关系式转化成a1和d的方程组，解方程得到a1和d的值，求出等差数列的通项公式；(2)先利用第一问的结论得到b2和b3的值，再利用等比数列的通项公式，将b2和b3转化为b1和q，解出b1和q的值，得到b6的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数.【解答】(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a4-a3=2，

4、所以d=2.又因为a1+a2=10，所以2a1+d=10，故a1=4，所以an=4+2(n-1)=2n+2.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2=a3=8，b3=a7=16，所以q=2，b1=4，所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2，得n=63.所以b6与数列{an}的第63项相等.【点评】(1)本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生分析问题、解决问题的能力、转化能力、计算能力.本题求等差数列和等比数列的基本量的关系，利用通项公式求解.(2)本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式：an=a

5、1+(n-1)d，等比数列的通项公式：an=a1qn-1.变式　(2014·重庆卷)已知{an}是首项为1、公差为2的等差数列，Sn表示数列{an}的前n项和.(1)求an及Sn；(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.【解答】(1)因为{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列，所以an=a1+(n-1)d=2n-1，Sn=1+3+…+(2n-1)===n2.(2)由(1)得a4=7，S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0，即q2-8q+16=0，所以(q-4)2=0，从而q=4.又

6、b1=2，q=4，所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1，从而{bn}的前n项和Tn==(4n-1).等差数列、等比数列的判断与证明例2　(2014·徐州三模改编)已知数列{an}，{bn}满足a1=3，anbn=2，bn+1=an，n∈N*，证明数列是等差数列，并求数列{bn}的通项公式.【分析】结合等差数列的概念，要证明数列是等差数列，就是要证明-是一个常数.将anbn=2代入bn+1=an-=，即证明数列是等差数列.【解答】(1)因为anbn=2，所以an=，则bn+1=anbn-=2-=2-=，所以-=.又a1=3，所以b1=.故，公差为的等差数列，即=+(

7、n-1)×=，所以bn=.【点评】判断或证明一个数列是等差数列或等比数列最直接和常用的方法就是定义法.结合等差数列、等比数列的概念，判断或证明数列是等差、等比数列的常用方法有以下三种：(1)定义法；(2)等比(差)中项法；(3)根据数列通项特征求证.变式　(2014·江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：对任意的n>1，都有m∈N*，使得a1，an，am成等比数列.【解答】(1)当n=1时，a1=S1=1.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=3