第1讲　等差数列与等比数列.pptx

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1、第1讲　等差数列与等比数列高考定位1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.1.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则()A.an＝2n－5B.an＝3n－10解析设首项为a1，公差为d.真题感悟答案A所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，答案D4.(2019·全国Ⅱ卷)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋

2、1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式.(1)证明由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列.1.等差数列考点整合2.等比数列热点一　等差、等比数列的基本运算【例1】(1)(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋

3、4a1，则a3＝()A.16B.8C.4D.2(2)(2019·北京卷)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.①求{an}的通项公式；②记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.(1)解析设等比数列{an}的公比为q，依题意q>0.由a5＝3a3＋4a1，得q4＝3q2＋4.∴q2＝4，则q＝2.又S4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝15，所以a1＝1.故a3＝a1q2＝4.答案C(2)解①设{an}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a

4、4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6).所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).解得d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.②法一由①知，an＝2n－12.则当n≥7时，an>0；当n＝6时，an＝0，当n<6时，an<0；所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.∴当n＝5或n＝6时，Sn的最小值S5＝S6＝－30.探究提高1.等差(比)数列基本运算的解题途径：(1)设基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程组：把条件转化为关于a

5、1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.2.第(2)题求出基本量a1与公差d，进而由等差数列前n项和公式将结论表示成“n”的函数，求出最小值.(1)解析由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，答案4(2)解①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.热点二　等差(比)数列的性质所以数列{an}的前7项

6、和为负值，即Sn的最小值是S7.答案(1)D(2)D整理得an

7、20C.10D.5或40解析(1)由题设得(a4－2)2＝a2a6，因为{an}是等差数列，且a1＝1，d≠0，所以(3d－1)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝3.从而am－an＝(m－n)d＝30.(2)设等比数列{an}的公比为q，则数列{lgan}是等差数列，答案(1)A(2)B热点三　等差(比)数列的判断与证明若数列{an}是等比数列，则a2＝1＋λ＝2a1＝2.∴λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{an}是等比数列.(2)解由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋λ，当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋λ，两式相减，an

8、＋1＝2an(n≥2，n∈N*)，所以数列{an}从第二项起成等比数列，且公比q＝2.又S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ，∴a2＝a1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1.【迁移】若本例中条件“a1＝1”改为“a1＝2”，其他条件不变，试求解第(2)问.解由题意，得an＋1＝2an(n≥2，n∈N*).又S2＝2S1＋λ，∴a2＝a1＋λ＝2＋λ>0.∴a