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《第9讲 等差数列和等比数列(答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第9讲等差数列和等比数列（参考答案）例1．解：由题意知，2b＝p＋c，2c＝q＋b，由后二式得，。于是有，因为p≠q，故，方程的判别式，因此方程无实根。故选A。例2．解：（1），又，又的等比中项为2，，而，，（2），，为首项，－1为公差的等差数列。，；当；当，最大。例3．解：（Ⅰ）因为是等比数列，当上式等价于不等式组：①或②解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－10且－1<<0或>0当或时即当且≠0时，即当或=2时，即例4．解（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使
2、｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.所以｛an｝不是等比数列.(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）=-bn又b1=-(λ+18),所以当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：当λ≠－18时，b1=—(λ+18)≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.例5．解：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，
3、解得，,(2)（方法一）=,设，则=,所以为8的约数7（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。.例6．解：由条件可知：，，解得：，，数列的公比为，，从而，，求得：．例7．解：（1）①当n=4时,中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或。②当n=5时,中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不
4、能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即7，化简得（*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1
5、，，，……，满足要求。例8．解：由条件易知两个二次方程与中，一个的两根为等比数列的第一、四项，而另一个的两根为第二、三两项，于是且，其中为该等比数列的首项。由于，故，且再利用在上为增函数，可得：例9．解：设的公差为，的公比为，显然有．因为，所以即，所以若，则，因为，所以，若，则，若，则，所以，综上可知，有．7说明：此题关键是将转化为例10．解：设第一行数列公差为d，各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,所以a44=2a43－a42=2×－=.又因为a44=a24·q2=q2,所以q=,于是有解此方程组，得d=,a1
6、1=.对于任意的1≤k≤n,有课后巩固1．答案：C【解析】由得得,再由得则,所以,.故选C2．【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B。3．【解析】由得，，则，，选C.7４．，5．解：为等差数列，6．，设公比为q，由已知条件知，，由比例性质，。７．证明：（1）∵a、b、c依次成等差数列∴b－c＝－d，c－a＝2d，a－b＝－d（d≠0）代入①得：－d（logmx－2logmy+logmz）＝0∵d≠0，∴，y2＝xz，可知x、y、z成等比数列．（2）∵x、y、z依次成等比数列，，∴两边取对数，得logmz－logmy＝logmy
7、－logmx＝logmqlogmz－logmx＝2logmq①式可变为a（logmz－logmy）－b（logmz－logmx）+c（logmy－logmx）＝0即logmq（a－2b+c）＝0，∵logmq≠0，∴2b＝a+c，可知a、b、c成等差数列．８．解:(Ⅰ)由知是方程的两根,注意到得得.等比数列.的公比为,(Ⅱ)∵数列是首相为3,公差为1的等差数列.7(Ⅲ)由(Ⅱ)知数列是首相为3,公差为1的等差数列,有……=……=，子,整理得,解得.的最大值是7.9．（I）解：设等差数列的公差为d.由即d=1.所以即（II）证
8、明因为，所以10．解：由已知，对任何n∈N，有，又因，故对任意x∈N，有。由于，故f（n）的最大值为。7
