2022版高考数学一轮复习高考大题规范解答系列四_立体几何学案含解析新人教版.doc

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1、高考高考大题规X解答系列(四)——立体几何考点一线面的位置关系与体积计算例1(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【分析】①看到证明线线垂直(AC⊥BD)，想到证明线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直．②看到求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比，想到确定同一平面，转化为求高的比．【标准答案】——规X答题步步

2、得分(1)取AC的中点O，连接DO，BO．1分因为AD＝CD，所以AC⊥DO．又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO．又因为DO∩BO＝O，从而AC⊥平面DOB，3分故AC⊥BD．4分(2)连接EO．5分-26-/26高考由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°．7分由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC．8分又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝B

3、D．故E为BD的中点，9分从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，11分即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1．12分【评分细则】①作出辅助线，并用语言正确表述得1分．②得出AC⊥DO和AC⊥BO得1分，由线面垂直的判定写出AC⊥平面DOB，再得1分．③由线面垂直的性质得出结论得1分．④作出辅助线，并用语言正确表述得1分．⑤由勾股定理逆定理得到∠DOB＝90°得2分．⑥由直角三角形的性质得出EO＝AC得1分．⑦由等边三角形的性质得出

4、E为BD的中点，得1分．⑧得出四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的得2分．⑨正确求出体积比得1分．-26-/26高考【名师点评】1．核心素养：空间几何体的体积及表面积问题是高考考查的重点题型，主要考查考生“逻辑推理”及“直观想象”的核心素养．2．解题技巧：(1)得步骤分：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中的得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以，对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中AC⊥DO，AC⊥BO；第(2)问中BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2等．(2)利用第(1

5、)问的结果：如果第(1)问的结果对第(2)问的证明或计算用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题就是在第(1)问的基础上得到DO＝AO．〔变式训练1〕(2020·课标Ⅰ，19)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P－ABC的体积．[解析](1)证明：由题设可知，PA＝PB＝PC．由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB

6、，△PAC≌△PBC．又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°，从而PB⊥PA，PB⊥PC，故PB⊥平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC．(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l．由题设可得rl＝，l2－r2＝2．解得r＝1，l＝．-26-/26高考从而AB＝．由(1)可得PA2＋PB2＝AB2，故PA＝PB＝PC＝．所以三棱锥P－ABC的体积为××PA×PB×PC＝××3＝．考点二线面的位置关系与空间角计算(理)例2(2021·某某省联考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△

7、ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，O，M分别为BC，AA1的中点．(1)证明：OM∥平面CB1A1；(2)若四边形BB1C1C为正方形，求平面MOB1与平面CB1A1所成二面角的正弦值．【分析】①在平面A1B1C内构造与OM平行的直线，并证明；②建立空间直角坐标系，分别求平面MOB1、平面CB1A1的法向量，求两法向量夹角正弦值即可．【标准答案】——规X答题步步得分(1)证明：如图，连接BC1，交CB1于点N，连接A1N，ON，则N为CB1的中点．因为O为BC的中点，所以ON∥BB1，且ON＝B

8、B1，2分又MA1∥BB1，MA1＝BB1，所以四边形ONA1M为平行四边形，即OM∥A1N．4分因为OM⊄平面CB1A1，A1N⊂平面CB1A1，-26-/26高考所以OM∥平面CB1A1.5分(2)解：连接OA，令BC＝2，因为AB＝AC，O为BC的中点，所以AO⊥BC．又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，ON∥BB1，所以OA，OB，ON两两垂直，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz．6分因为AB＝AC＝，BC＝