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《2013年高考数学真题(湖南卷)理科精编解析word版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、普通高等学校招生全国统一考试数学真题数学(理工农医类)(湖南卷)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013湖南,理1)复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ). A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:z=i+i2=-1+i,对应点为(-1,1),故在第二象限,选B.2.(2013湖南,理2)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生
2、进行调查,则宜采用的抽样方法是( ).A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法答案:D解析:看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异,应当分层抽取,故宜采用分层抽样.3.(2013湖南,理3)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=3b,则角A等于( ).A.π12B.π6C.π4D.π3答案:D解析:由2asinB=3b得2sinAsinB=3sinB,故sinA=32,故A=π3或2π3.又△ABC为锐角三角形,故A=π3.4.(2013湖南,理4)若变量x,y满足约束条件y≤2x,x+y≤1,y≥-1.则x
3、+2y的最大值是( ).A.-52B.0C.53D.52答案:C解析:约束条件表示的可行域为如图阴影部分.令x+2y=d,即y=-12x+d2,由线性规划知识可得最优点为13,23,所以dmax=13+43=53.5.(2013湖南,理5)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为( ).普通高等学校招生全国统一考试数学真题A.3B.2C.1D.0答案:B解析:设f(x)与g(x)图象的交点坐标为(x,y),则y=2lnx,y=x2-4x+5,联立得2lnx=x2-4x+5,令h(x)=x2-4x+5-2lnx(x>0),
4、由h'(x)=2x-4-2x=0得x1=1+2,x2=1-2(舍).当h'(x)<0时,即x∈(0,1+2)时,h(x)单调递减;当h'(x)>0,即x∈(1+2,+∞)时,h(x)单调递增.又∵h(1)=2>0,h(2)=1-2ln2<0,h(4)=5-2ln4>0,∴h(x)与x轴必有两个交点,故答案为B.6.(2013湖南,理6)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足
5、c-a-b
6、=1,则
7、c
8、的取值范围是( ).A.[2-1,2+1]B.[2-1,2+2]C.[1,2+1]D.[1,2+2]答案:A解析:由题意,不妨令a=(0,1),b=(1
9、,0),c=(x,y),由
10、c-a-b
11、=1得(x-1)2+(y-1)2=1,
12、c
13、=x2+y2可看做(x,y)到原点的距离,而点(x,y)在以(1,1)为圆心,以1为半径的圆上.如图所示,当点(x,y)在位置P时到原点的距离最近,在位置P'时最远,而PO=2-1,P'O=2+1,故选A.7.(2013湖南,理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( ).A.1B.2C.2-12D.2+12答案:C解析:根据三视图中正视图与俯视图等长,故正视图中的长为2cosθ,如图所示.故正视图的面积为S=2cosθ(0
14、≤θ≤π4),∴1≤S≤2,而2-12<1,故面积不可能等于2-12.8.(2013湖南,理8)普通高等学校招生全国统一考试数学真题在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( ).A.2B.1C.83D.43答案:D解析:以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示.则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC的重心为D,则D点坐标为43,43.设P点坐标为(m,0),则P点关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线
15、BC方程为x+y-4=0,所以P点关于BC的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上,∴kP1D=kP2D,即4343+m=43-4+m43-4,解得,m=43或m=0.当m=0时,P点与A点重合,故舍去.∴m=43.二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9.(2013湖南,理9)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:x=t,y=t-a(t为参数)过椭圆C:x=3cosφ,y=2sinφ(φ为参数)的右顶点,则常数a的
16、值为 . 答案:3解析:由题意
