高中数学的特殊解法――反向解法

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1、高中数学的特殊解法――反向解法高中数学对于很多同学的学习来说都是很头疼的，如何有效的解答高中数学的选择题、填空题或解答题，是高中数学提高分数的重要问题。但有些题目直接解答比较困难，那么是否有其它的解法呢？正所谓：正难则反，我们可以用逆向思维来想想如何简单有效的解决一些比较难得问题，于是就有了反向解法，即是考虑题目的反方面，反向解法就能够在高中数学中发挥重要作用。下面介绍几种反向解法。一、反向排除法在选择题中，数学的选择题答案是唯一的，只要能排除其中的3个选项，就能够得出正确的答案，这种方法称为排除法。例：设0A.B.C.-D.-思路分析：先根据已知条件，缩小a的取值范围，当00，故

2、sina

3、

4、>

5、cosa

6、，所以在tana=此分式中，分子的绝对值应该大于分母的绝对值，从而选D。二、反向特殊值法根据选择题答案唯一的原则，举个符合题目条件的特殊例子，从而得出题目的答案叫做特殊值法。例：若动点P、Q在椭圆9x2+16y2=144上，且满足OPOQ，则中心O到弦PQ的距离OH必等于（）。第4页共4页A.B.C.D.解析：选一个特殊位置（如图），令OP、OQ分别在长、短正半轴上，由a2=16，b2=9得，OP=4，OQ=3，则OH=。根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案C正确。三、反向筛选法从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从

7、而得出正确判断的方法叫反向筛选法。例：已知y=log（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（）。A.[0，1]B.（1，2]C.（0，2）D.[2，+∞）解：2-ax是在[0，1]上是减函数，所以a>1，排除答案A、C；若a=2，由2-ax>0得x四、反向代入法：将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确判断的方法叫反向代入法，又称为验证法，即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案。五、反向连接法也称取补集法，即把难以求解的问题看作一个集合，我们先从它的补集入手，然后再取它的补集，从而得到问题所要求的答案。例：若函数y=f（x）的定义域为（

8、0，5），y=g（x）的定义域为[1，6]，且f（x）≥g（x）的解集为（2，3），求不等式f（x）第4页共4页思路分析：因为y=f（x）和y=g（x）的定义域的交集为（0，5）∩[1，6]=[1，5），而f（x）≥g（x）的否定为f（x）六、反向证明法称为反证法，就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。例：若下列方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有

9、实根。试求实数a的取值范围。分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。解：设三个方程均无实根，则有：即-所以当a≥-1或a≤-时，三个方程至少有一个方程有实根。七、反向参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。例：实数a、b、c满足a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值。分析：由a+b+c=1想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a=+t1，b=+t2，c=+t3，代入a2+b2+c2可求。解：由

10、a+b+c=1，设a=+t1，b=+t2，c=第4页共4页+t3，其中t1+t2+t3=0，a2+b2+c2=（+t1）2+（+t2）2+（+t3）2=+（t1+t2+t3）+t12+t22+t32=+t12+t22+t32≥。所以a2+b2+c2的最小值是。八、反向图解法：一些计算过程复杂的代数、三角、解析几何问题，可以作出有关函数的图像或者构造适当的几何图形，利用图示辅助进行直观分析，从而得出结论。这也就是数形结合的解题方法。例不等式2x+5>x+1的解集是（）。解：如图，在同一坐标系中画出函数y=2x+5与y=x+1的图像，由图中可以直观地得到：-≤x总之，在数学解题中，直接法如果无法解

11、答或者比较难解答，我们可以考虑采用反向解答法，在数学解题中往往能起到比较好的效果。第4页共4页